Problema sistema d’equacions. Regal entre tres persones

Tres persones, $A$, $B$ i $C$, volen fer un regal a un amic comú. El regal els costa $780$ euros. Com que no disposen de la mateixa quantitat de diners, decideixen pagar de la següent manera: $A$ paga el triple del que paguen $B$ i $C$ junts, i per cada $5$ euros que paga $B$, $C$ en paga $8$. a) Planteja un sistema d’equacions lineals que permeti determinar quant paga cadascú. b) Resol el sistema plantejat en l’apartat anterior

Plantejament del sistema d’equacions

Sigui:

• $x$: la quantitat que paga la persona $A$,
• $y$: la quantitat que paga la persona $B$,
• $z$: la quantitat que paga la persona $C$.

Tenim la informació següent:

1. Cost total del present:
   $$x + y + z = 780$$
2. Relació entre el pagament de $A$ i el pagament de $B$ i $C$:
   Ens diuen que $A$ paga el triple del que paguen $B$ i $C$ junts. Això es pot expressar com:
   $$x = 3(y + z)$$
3. Relació entre els pagaments de $B$ i $C$:
   Ens indiquen que per cada $5$ euros que paga $B$, $C$ en paga $8$. Això implica una proporció entre $y$ i $z$, que podem expressar com:
   $$\frac{y}{5} = \frac{z}{8}$$

Reorganitzem l’última relació per obtenir una equació lineal:

$$8y = 5z$$

Així, el sistema d’equacions queda:

$$\begin{cases}
x + y + z = 780 \\
x = 3(y + z) \\
8y = 5z
\end{cases}$$

Resolució del sistema pel mètode de Gauss-Jordan

1. Escrivim el sistema en forma matricial augmentada: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 1 & -3 & -3 & | & 0 \\ 0 & 8 & -5 & | & 0 \end{pmatrix}$$
2. Aplicació del mètode de Gauss-Jordan: Comencem amb l’eliminació de termes a partir de la primera fila.

• Restem la primera fila de la segona fila per eliminar el coeficient d’$x$ en la segona fila: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 0 & -4 & -4 & | & -780 \\ 0 & 8 & -5 & | & 0 \end{pmatrix}$$
• Simplifiquem la segona fila dividint per $-4$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 0 & 1 & 1 & | & 195 \\ 0 & 8 & -5 & | & 0 \end{pmatrix}$$
• Eliminem el coeficient de $y$ a la tercera fila restant $8$ vegades la segona fila de la tercera fila: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 0 & 1 & 1 & | & 195 \\ 0 & 0 & -13 & | & -1560 \end{pmatrix}$$
• Simplifiquem la tercera fila dividint per $-13$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 0 & 1 & 1 & | & 195 \\ 0 & 0 & 1 & | & 120 \end{pmatrix}$$
• Ara fem substitució cap amunt per eliminar $z$ de les files superiors. A la segona fila, restem $z$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 780 \\ 0 & 1 & 0 & | & 75 \\ 0 & 0 & 1 & | & 120 \end{pmatrix}$$
• Finalment, eliminem $z$ de la primera fila restat $1 \cdot z$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 660 \\ 0 & 1 & 0 & | & 75 \\ 0 & 0 & 1 & | & 120 \end{pmatrix}$$ La solució final és:
  $$x = 585, \quad y = 75, \quad z = 120$$

Conclusió

Les quantitats que paga cadascú són:

• A paga 585 €,
• B paga 75 €,
• C paga 120 €.