Examen sobre matrius, determinants i sistemes d’equacions

Home  ›  General  ›  Examen sobre matrius, determinants i sistemes d’equacions
Examen sobre matrius, determinants i sistemes d’equacions
11 de novembre de 2024 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Examen de Matrius i Sistemes d’Equacions

1. Problema 1: Determinants i Rang de la Matriu

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$:

a) Calcula el determinant de la matriu $A$.

b) Troba el rang de la matriu $A$ utilitzant mètodes d’escalonament o altres que consideris convenients.

c) Discuteix si la matriu és invertible i justifica la teva resposta basant-te en el determinant i el rang.

2. Problema 2: Inversa d’una Matriu

Donada la matriu $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$:

a) Calcula la matriu inversa $B^{-1}$ si existeix, utilitzant el mètode de la matriu adjunta o el mètode de Gauss-Jordan.

b) Comprova que $B \cdot B^{-1} = I$, on $I$ és la matriu identitat de 3×3.

c) Explica per què la inversa d’una matriu és útil en la resolució de sistemes d’equacions lineals.

3. Problema 3: Discussió d’un Sistema d’Equacions en Funció d’un Paràmetre

Es considera el sistema d’equacions següent, dependent d’un paràmetre $k$: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + ky – z = 1 \\ 3x + y + (k+1)z = k \end{cases}$$

a) Escriu el sistema en forma matricial $AX = B$ i expressa $A$ i $B$ en funció de $k$.

b) Calcula el determinant de la matriu $A$ en funció de $k$.

c) Discuteix els valors de $k$ per als quals el sistema té solució única, infinites solucions o cap solució, utilitzant el concepte de rang i determinants.

4. Problema 4: Plantejament i Resolució d’un Sistema d’Equacions Lineals en un Problema Aplicat

Una empresa de producció de tres tipus de productes $A$, $B$ i $C$ utilitza tres màquines diferents ($M1$, $M2$ i $M3$). Els requeriments de temps (en hores) de cada producte a cada màquina són els següents:

A més, es disposa de $20$ hores per a la màquina $M1$, $15$ hores per a la màquina $M2$ i $25$ hores per a la màquina $M3$.

a) Planteja un sistema d’equacions lineals que representi aquest problema, on $x$, $y$ i $z$ representin el nombre d’unitats produïdes dels productes $A$, $B$ i $C$ respectivament.

b) Escriu el sistema en forma matricial i resol-lo utilitzant una de les tècniques per a sistemes d’equacions (mètode d’inverses, Gauss, etc.).

c) Interpreta la solució en el context del problema i discuteix si és possible produir quantitats fraccionàries dels productes.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *