Problema reacció nuclear. Energia, freqüència i fracció àtoms desintegrats

L’isòtop de fòsfor $^{32}_{15}P$, la massa del qual és de $31,9739$ u, es transforma per emissió beta en un isòtop estable de sofre $Z = 16$, amb una massa de $31,9721$ u. El procés, amb un període de semidesintegració de $14,28$ dies, va acompanyat per l’alliberament d’una certa quantitat d’energia en forma de radiació electromagnètica. Amb aquestes dades: a) Escriu la reacció nuclear i calcula l’energia i la freqüència de la radiació emesa. b) Calculeu la fracció d’àtoms de fòsfor desintegrats al cap de $48$ hores per una mostra inicialment formada només per àtoms de fòsfor-$32$.

Dades: $h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{Js}$; $1 \, \text{eV} = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{J}$; $m_e = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$; $1 \, \text{u} = 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg}$.

La reacció nuclear és la següent:

$$^{32}_{15}P \rightarrow \, ^{32}_{16}S + \, ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$

Per tal que es conservin el nombre atòmic i el nombre màssic en la reacció, la partícula ( X ) ha de ser un electró. Un neutrò del nucli es converteix en un protó, un electró i una partícula sense càrrega i sense massa en repòs, anomenada antineutrí ( \bar{\nu}_e ). Per tant, la reacció completa és:

$$^{32}{15}P \rightarrow \, ^{32}{16}S + \, ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$

A partir de les masses atòmiques, podem calcular la variació de massa de la reacció mitjançant la fórmula:

$$\Delta m = m_s + m_e – m_p$$

On:

• $m_s$ és la massa del sofre-32,
• $m_e$ és la massa de l’electró,
• $m_p$ és la massa del fòsfor-32.

La massa de l’electró $m_e$ es calcula així:

$$m_e = 9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$$

Per convertir aquesta massa a unitats de massa atòmica (u), utilitzem la relació:

$$1 \, \text{u} = 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg}$$

Així, la massa de l’electró en unitats de massa atòmica és:

$$m_e = \frac{9,11 \times 10^{-31} \, \text{kg}}{1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg/u}} = 0,00055 \, \text{u}$$

Per tant, la massa del electró és de $0,00055 \, \text{u}$.

La variació de massa es calcula com segueix:

$$\Delta m = 31,9721 \, \text{u} + 0,00055 \, \text{u} – 31,9739 \, \text{u} = -1,25 \times 10^{-3} \, \text{u}$$

Aquesta pèrdua de massa en la reacció es converteix en energia que es libera en el procés. La relació entre la variació de massa i l’energia es dona per l’equació d’Einstein:

$$E = \Delta m \cdot c^2$$

On:

• $\Delta m = -1,25 \times 10^{-3} \, \text{u}$,
• $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$,
• $1 \, \text{u} = 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg}$.

Substituïm els valors per calcular l’energia:

$$E = -1,25 \times 10^{-3} \, \text{u} \cdot 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg/u} \cdot (3 \times 10^8 \, \text{m/s})^2$$

$$E = 1,87 \times 10^{-13} \, \text{J}$$

Per calcular la freqüència de la radiació emesa, utilitzem l’equació de Planck:

$$E = h \cdot f$$

On:

• $E = 1,87 \times 10^{-13} \, \text{J}$,
• $h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$,
• $f$ és la freqüència de la radiació.

Aïllant $f$:

$$f = \frac{E}{h} = \frac{1,87 \times 10^{-13} \, \text{J}}{6,63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}} = 2,82 \times 10^{20} \, \text{Hz}$$

Per tant, la freqüència de la radiació emesa és:

$$f = 2,82 \times 10^{20} \, \text{Hz}$$

Calculem la constant de desintegració $\lambda$ a partir del període de semidesintegració:

$$\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{(14,28 \times 24) \, \text{hores}} = 2,02 \times 10^{-3} \, \text{hores}^{-1}$$

Ara calculem la fracció d’àtoms desintegrats a partir de l’equació fonamental de la radioactivitat:

$$N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$

On:

• $N$ és el nombre d’àtoms restants després del temps $t$,
• $N_0$ és el nombre d’àtoms inicials,
• $\lambda = 2,02 \times 10^{-3} \, \text{hores}^{-1}$,
• $t = 48 \, \text{hores}$.

Calculant la fracció de nuclis que queden sense desintegrar:

$$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = e^{-2,02 \times 10^{-3} \cdot 48} = e^{-0,097} \approx 0,91$$

Així, la fracció d’àtoms que queden sense desintegrar és del $91\%$. Per tant, el $9\%$ dels àtoms de fòsfor s’han desintegrat.