Problema electromagnetisme. Juliol 2019

Una espira rectangular de $4$ cm$^2$ gira dins d’un camp magnètic de $0,5$ T, donant lloc a una força electromotoritzadora sinusoidal. a) Donar l’expressió de la força electromotoritzadora en funció de la freqüència de rotació de l’espira. b) Si la força electromotoritzadora màxima és de $0,05$ V, quina és la freqüència de rotació de l’espira? c) Enunciar la llei de Faraday.

Per definició, el flux magnètic que travessa una superfície és: $$\Phi = \mathbf{B} \cdot \mathbf{S} = B \cdot S \cdot \cos \theta$$

On $\theta$ és l’angle format entre els vectors intensitat del camp magnètic i la superfície.

Com que l’espira està girant amb un moviment circular uniforme, aquest angle varia al llarg del temps segons:

$$\theta = \theta_0 + \omega \cdot t = \theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t \quad (\text{rad/s})$$

El flux que travessa l’espira serà:

$$\Phi = \mathbf{B} \cdot \mathbf{S} = B \cdot S \cdot \cos \theta = 0,5 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \cdot \cos (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \cos (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) \quad (\text{Wb})$$

Per calcular la f.e.m. inducida, apliquem la llei de Faraday-Lenz:

$$\mathcal{E}_{\text{ind}} = – N \cdot \frac{d\Phi}{dt} = – N \cdot \frac{d}{dt} \left( 2.1 \cdot 10^{-4} \cdot \cos (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) \right)$$

Això és igual a:

$$\mathcal{E}_{\text{ind}} = – \left( 2.1 \cdot 10^{-4} \cdot 2\pi f \cdot (-\sin (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t)) \right)$$

Finalment, la f.e.m. inducida serà:

$$\mathcal{E}_{\text{ind}} = 4.1 \cdot 10^{-4} \cdot \pi \cdot f \cdot \sin (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) \quad (\text{V})$$

$$(\mathcal{E}_{\text{ind}})_{\text{màx}} \Rightarrow \sin (\theta_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) = 1 \Rightarrow 4.1 \cdot 10^{-4} \cdot \pi \cdot f = 0,05 \Rightarrow f = \frac{0,05}{4.1 \cdot 10^{-4} \cdot \pi} = 39,8 \, \text{Hz}$$

Llei de Faraday: “La corrent induïda és produïda per una força electromotoritzadora induïda que és directament proporcional a la rapidesa amb què varia el flux i directament proporcional al nombre d’espires de l’induit.”

$$\mathcal{E} \propto N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$