Sistema d’equacions. Resolució pel mètode de Cramer

Sigui el següent sistema d’equacions lineals: $$\begin{cases}x + 3y – 2z = 4 \\ 2x + 2y + z = 3 \\ 3x + 2y + z = 5\end{cases}$$ Comproveu que aquest sistema és compatible determinat i resoleu-ho.

Per resoldre aquest sistema d’equacions lineals utilitzant la regla de Cramer, seguirem els següents passos. El sistema d’equacions és:

$$\begin{cases}
x + 3y – 2z = 4 \\
2x + 2y + z = 3 \\
3x + 2y + z = 5
\end{cases}$$

Pas 1: Escriure la matriu del sistema

La matriu dels coeficients $A$ i el vector dels termes independents $B$ són:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Calcular el determinant de la matriu $A$

El determinant de la matriu $A$, denotat com $\text{det}(A)$, es calcula com segueix:

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
1 & 3 & -2 \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{vmatrix}$$

Per calcular el determinant, utilitzarem l’expansió per la primera fila:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$

Calculant els determinants 2×2:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) – 1(2) = 2 – 2 = 0$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) – 1(3) = 2 – 3 = -1$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(2) – 2(3) = 4 – 6 = -2$$

Substituïm aquests valors en l’expansió:

$$\text{det}(A) = 1(0) – 3(-1) + (-2)(-2) = 0 + 3 + 4 = 7$$

Per tant, $\text{det}(A) = 7$.

Pas 3: Calcular les matrius $A_x$, $A_y$ i $A_z$

Matriu $A_x$: Substituïm la primera columna de $A$ pel vector $B$:

$$A_x = \begin{pmatrix}
4 & 3 & -2 \\
3 & 2 & 1 \\
5 & 2 & 1
\end{pmatrix}$$

Calculant el determinant de $A_x$:

$$\text{det}(A_x) = \begin{vmatrix}
4 & 3 & -2 \\
3 & 2 & 1 \\
5 & 2 & 1
\end{vmatrix}$$

Expansió per la primera fila:

$$\text{det}(A_x) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}$$

Calculant els determinants 2×2:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) – 1(5) = 3 – 5 = -2$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3(2) – 2(5) = 6 – 10 = -4$$

Substituïm aquests valors:

$$\text{det}(A_x) = 4(0) – 3(-2) + (-2)(-4) = 0 + 6 + 8 = 14$$

Matriu $A_y$: Substituïm la segona columna de $A$ pel vector $B$:

$$A_y = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 5 & 1
\end{pmatrix}$$

Calculant el determinant de $A_y$:

$$\text{det}(A_y) = \begin{vmatrix}
1 & 4 & -2 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 5 & 1
\end{vmatrix}$$

Expansió per la primera fila:

$$\text{det}(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} – 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$$

Calculant els determinants 2×2:

$$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -2$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 2(5) – 3(3) = 10 – 9 = 1$$

Substituïm aquests valors:

$$\text{det}(A_y) = 1(-2) – 4(-1) + (-2)(1) = -2 + 4 – 2 = 0$$

Matriu $A_z$: Substituïm la tercera columna de $A$ pel vector $B$:

$$A_z = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 5
\end{pmatrix}$$

Calculant el determinant de $A_z$:

$$\text{det}(A_z) = \begin{vmatrix}
1 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 5
\end{vmatrix}$$

Expansió per la primera fila:

$$\text{det}(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$

Calculant els determinants 2×2:

$$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 2(5) – 3(2) = 10 – 6 = 4$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 2(5) – 3(3) = 10 – 9 = 1$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(2) – 2(3) = 4 – 6 = -2$$

Substituïm aquests valors:

$$\text{det}(A_z) = 1(4) – 3(1) + 4(-2) = 4 – 3 – 8 = -7$$

Pas 4: Aplicar la regla de Cramer

Ara podem aplicar la regla de Cramer per trobar les solucions $x$, $y$ i $z$:

$$x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{14}{7} = 2$$
$$y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{0}{7} = 0$$
$$z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{-7}{7} = -1$$

Solució final:

Les solucions del sistema són:

$$x = 2, \quad y = 0, \quad z = -1$$