Sistema d’equacions

Sigui $$\begin{cases}x + y – z = 4 \\ x + 2y – 3z = 2 \\ 3x + 2y = 3\end{cases}$$ un sistema d’equacions lineals. Comproveu que aquest sistema és compatible determinat i resoleu-ho.

$$\begin{cases}
x + y – z = 4 \\
x + 2y – 3z = 2 \\
3x + 2y = 3
\end{cases}$$

Pas 1: Escriu la matriu augmentada

Escrivim la matriu augmentada associada al sistema:

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 4 \\
1 & 2 & -3 & | & 2 \\
3 & 2 & 0 & | & 3
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Eliminem el primer element de la segona i tercera fila

Per eliminar els termes de la primera columna a les files 2 i 3, fem les següents operacions fila:

1. Restem la primera fila de la segona fila per fer zero el primer element de la segona fila:
   $$F_2 = F_2 – F_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 3 & 2 & 0 & | & 3 \end{pmatrix}$$
2. Restem 3 vegades la primera fila de la tercera fila per fer zero el primer element de la tercera fila:
   $$F_3 = F_3 – 3F_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & -1 & 3 & | & -9 \end{pmatrix}$$

Pas 3: Eliminem el segon element de la tercera fila

Per eliminar el terme de la segona columna a la tercera fila, sumem la segona fila a la tercera fila:

$$F_3 = F_3 + F_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -11 \end{pmatrix}$$

Ara tenim una matriu escalonada:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -11 \end{pmatrix}$$

Pas 4: Resolució per substitució retroactiva

Ara podem resoldre el sistema utilitzant substitució retroactiva.

1. De la tercera fila, obtenim el valor de $z$:
   $$z = -11$$
2. Substituïm $z = -11$ a la segona fila per obtenir $y$:
   $$y – 2z = -2 \quad \Rightarrow \quad y – 2(-11) = -2 \quad \Rightarrow \quad y + 22 = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -24$$
3. Substituïm $y = -24$ i $z = -11$ a la primera fila per obtenir $x$:
   $$x + y – z = 4 \quad \Rightarrow \quad x – 24 – (-11) = 4 \quad \Rightarrow \quad x – 24 + 11 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 17$$

Solució final

La solució del sistema és:

$$x = 17, \quad y = -24, \quad z = -11$$

Per tant, la solució és $(x, y, z) = (17, -24, -11)$.