Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

El sistema és:\[\begin{cases}4x_1 + 2x_2 – x_3 = 5 \\5x_1 + 3x_2 – 2x_3 = -1 \\3x_1 + 2x_2 – x_3 = 2\end{cases}\]

Pas 1: Matriu augmentada. Escrivim la matriu augmentada:\[\begin{bmatrix}4 & 2 & -1 & | & 5 \\5 & 3 & -2 & | & -1 \\3 & 2 & -1 & | & 2\end{bmatrix}\]

Pas 2: Eliminació gaussiana

– Primera columna: Fem zero els elements sota el pivot (4).

– \(F_2 \to F_2 – \frac{5}{4}F_1\): \(5 – \frac{5}{4} \cdot 4 = 0\), \(3 – \frac{5}{4} \cdot 2 = 0.5\), \(-2 – \frac{5}{4} \cdot (-1) = -0.75\), \(-1 – \frac{5}{4} \cdot 5 = -7.25\). Multipliquem per 4: \(0, 2, -3, -29\).

– \(F_3 \to F_3 – \frac{3}{4}F_1\): \(3 – \frac{3}{4} \cdot 4 = 0\), \(2 – \frac{3}{4} \cdot 2 = 0.5\), \(-1 – \frac{3}{4} \cdot (-1) = -0.25\), \(2 – \frac{3}{4} \cdot 5 = -1.75\). Multipliquem per 4: \(0, 2, -1, -7\).Matriu:\[\begin{bmatrix}4 & 2 & -1 & | & 5 \\0 & 2 & -3 & | & -29 \\0 & 2 & -1 & | & -7\end{bmatrix}\]

– Segona columna: Fem zero sota el pivot (2). – \(F_3 \to F_3 – F_2\): \(0 – 0 = 0\), \(2 – 2 = 0\), \(-1 – (-3) = 2\), \(-7 – (-29) = 22\).Matriu:\[\begin{bmatrix}4 & 2 & -1 & | & 5 \\0 & 2 & -3 & | & -29 \\0 & 0 & 2 & | & 22\end{bmatrix}\]

Pas 3: Substitució enrere

– Tercera fila: \(2x_3 = 22 \implies x_3 = 11\).

– Segona fila: \(2x_2 – 3(11) = -29 \implies 2x_2 – 33 = -29 \implies 2x_2 = 4 \implies x_2 = 2\).

– Primera fila: \(4x_1 + 2(2) – 11 = 5 \implies 4x_1 + 4 – 11 = 5 \implies 4x_1 – 7 = 5 \implies 4x_1 = 12 \implies x_1 = 3\).

Solució final: \[x_1 = 3, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 11\]