Problema 2. EBAU Cantàbria 2021 Juny

Un museu ofereix entrades amb tarifes diferents: adult, infant i jubilat. La suma de les tarifes d’adult i jubilat és cinc vegades la tarifa d’infant. A més, se sap que un grup de $5$ adults, $3$ infants i $3$ jubilats ha pagat $222$ €; i un altre grup de $3$ adults, $2$ infants i $4$ jubilats, $168$ €.

a) Planteja el sistema d’equacions que permet calcular les tres tarifes. Sigui:

• \( x \): tarifa de l’entrada d’adult en euros

• \( y \): tarifa de l’entrada infantil en euros

• \( z \): tarifa de l’entrada de jubilat en euros.

Plantegem el sistema:\[\begin{cases}x + z = 5y \\5x + 3y + 3z = 222 \\3x + 2y + 4z = 168\end{cases}\]

b) Analitza la compatibilitat del sistema. El sistema té 3 equacions i 3 incògnites. Es calcula el rang de la matriu de coeficients i el de la matriu ampliada. Com que el determinant de la matriu de coeficients \( A \neq 0 \), tenim rang(A) = 3, igual al nombre d’incògnites.

Conclusió: És un Sistema Compatible Determinat (S.C.D) i per tant té una única solució.

c) Resol el sistema. Resolució pel mètode de Cramer i pel mètode de Gauss:- \( x = 30 \) – \( y = 9 \) – \( z = 15 \)

d) El dia que una família formada per 2 adults, 2 infants i 3 jubilats visita el museu, s’aplica un descompte especial del 15% a cada tarifa. Quant paguen en total? Tarifes amb descompte:

• Adult: \( 30 \times 0{,}85 = 25{,}5 \) €

• Infant: \( 9 \times 0{,}85 = 7{,}65 \) €

• Jubilat: \( 15 \times 0{,}85 = 12{,}75 \) €Cost total:\[2 \times 25{,}5 + 2 \times 7{,}65 + 3 \times 12{,}75 = 51 + 15{,}3 + 38{,}25 = 104{,}55 \, \text{€}\]

Resposta final: paguen 104,55 € en total.