Problema estàtica. Persona damunt una llitera

Una persona de 70 kg i 1,75 m d’alçada es troba damunt d’una llitera on a sota s’han col·locat dues balances a cada extrem, que prèviament s’han tarat a zero, la primera a 0,35 cm del cap i la segona a 0,40 cm dels peus de la persona; i indiquen 32,2 kg i 37,8 kg respectivament. Dibuixeu totes les forces que actuen sobre la persona i les balances, i calculeu el centre de gravetat de la persona que està estirada a la llitera.

Les forces que hi actuen són el pes de la llitera, $p$, i les normals N₁ i N₂.

b) Prèviament calculem N₁ i N₂: \[N₁ = 37{,}8 \cdot 9{,}8 = 370{,}44 \, \text{N} \\N₂ = 32{,}2 \cdot 9{,}8 = 315{,}56 \, \text{N}\] Si prenem el punt d’aplicació de la força N₁ com a origen de coordenades 0 (x₁ = 0), llavors el punt d’aplicació x₂ de la força N₂ està a una distància d de l’origen, x₂ = d. Recordem que es considera que la força pes està aplicada al centre de masses, i podem anomenar x₃ la distància entre aquest punt i l’origen O. Si apliquem l’equació d’equilibri respecte dels moments, tenint en compte que la força N₂ té tendència a fer girar el cos en sentit antihorari i, per tant, té un moment positiu, mentre que la força p té tendència a fer girar el cos en sentit horari, de manera que el seu moment és negatiu, tenim que: \[\sum M_{\text{ext}} = 0 \Rightarrow N₁ x₁ + N₂ x₂ – p x₃ = 0 \Rightarrow N₁ \cdot 0 + N₂ d – p x₃ = 0 \Rightarrow p x₃ = N₂ d \Rightarrow\]\[x₃ = \frac{N₂ d}{p} = \frac{315{,}56 \cdot 2{,}50}{709{,}8} = 1{,}15 \, \text{m}\] Per tant, el centre de masses de la persona es troba a 1,15 m de la primera balança, i a $1,15 – 0,35 = 0,8 m$ del cap de la persona. Una manera alternativa de resoldre el problema consisteix a fixar l’origen de coordenades a N₂, x₂’ = 0, de manera que ara és nul el moment respecte d’aquesta força. Si anomenem x₃’ la distància del centre de masses (punt d’aplicació del pes) a la balança 2, tenim: \[\sum M_{\text{ext}} = 0 \Rightarrow N₁ x₁’ + N₂ x₂’ – p x₃’ = 0 \Rightarrow N₂ d + N₁ \cdot 0 – p x₃’ = 0 \Rightarrow p x₃’ = N₁ d \Rightarrow\]\[x₃’ = \frac{N₁ d}{p} = \frac{370{,}44 \cdot 2{,}50}{709{,}8} = 1{,}35 \, \text{m}\]Per tant, el centre de masses de la persona es troba a 1,35 m de la primera balança i a $1,35 – 0,40 = 0,95$ m dels peus de la persona.