Problema sistema d’equacions. EBAU Cantabria 2021

To Museum offert tesseras cum pretiis diversis: adultus, puer et emeritus. Summa pretiis adulti et emeriti est quinquies pretium pueri. Praeterea, scitur coetus ex 5 adultis, 3 pueris et 3 emeritis solvisse 222 €; et alius coetus ex 3 adultis, 2 pueris et 4 emeritis, 168 €. a) Sistite systema aequationum quod permittit computare tria pretia. b) Analyzate compatibilitatem dicti systematis. c) Solvite. d) Die quo familia constituta ex 2 adultis, 2 pueris et 3 emeritis museum visitat, applicatum est donum speciale 15% in singulis pretiis. Quid in toto solvunt?

a) Sistimus systema aequationum:

x: pretium tesserae adulti expressum in euros

y: pretium tesserae pueri expressum in euros

z: pretium tesserae emeriti expressum in euros \[\begin{cases}x + z = 5y \\5x + 3y + 3z = 222 \\3x + 2y + 4z = 168\end{cases}\]

b) Analyzamus compatibilitatem dicti systematis**\[A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 5 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad A’ = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 3 & 222 \\ 3 & 2 & 4 & 168 \end{pmatrix}\] Quum maximum ordo utriusque matricis erit 3, quoniam dimensiones matricis coefficientium (A) sunt 3×3 et dimensiones matricis Amplificatae (A’) sunt 3×4. Computamus determinans matricis coefficientium (A):**\[|A| = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 5 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (12 \cdot 10 – 45 \cdot 9) + 100 – 6 = 62 \neq 0 \rightarrow \text{rg}(A) = 3\] Quum |A| ≠ 0 → rg(A) = 3 Quum maximum ordo matricis amplificatae erit 3, ergo: Quum rg(A) = rg(A’) = numerus ignotorum → 3 → Habebimus Systema Compatibile Determinatum (S.C.D)** **Systema habebit unicam solutionem

c) Solvimus systema aequationum

1º Methodus: Solvimus per regulam Cramer:**\[X = \frac{\begin{vmatrix} 222 & -5 & 1 \\ 222 & 3 & 3 \\ 168 & 2 & 4 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{444 + 520 – 504 + 444 + 0}{62} = \frac{1860}{62} = 30\]\[Y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 222 & 1 \\ 5 & 222 & 3 \\ 3 & 168 & 4 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{888 – 666 – 504}{62} = \frac{558}{62} = 9\]\[Z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -5 & 222 \\ 5 & 3 & 222 \\ 3 & 2 & 168 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{504 – 333 + 4200 – 444}{62} = \frac{930}{62} = 15\]\[x = 30, \quad y = 9, \quad z = 15\]

2º Methodus: Solvimus etiam per methodum Gauss:**\[\begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 3 & 222 \\ 3 & 2 & 4 & 168 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 \to F_2 – 5F_1} \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 28 & -2 & 222 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_3 \to F_3 – 3F_1} \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 28 & -2 & 222 \\ 0 & 17 & 1 & 168 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_3 \to F_3 – \frac{17}{28}F_2} \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 28 & -2 & 222 \\ 0 & 0 & \frac{-62}{28} & -930 \end{pmatrix}\]\[x = 30, \quad y = 9, \quad z = 15\]

d) Solvent dabunt duo vicibus (0,85 multiplicatum per triginta) addito duobus vicibus (0,85 multiplicatum per novem) addito tribus vicibus (0,85 multiplicatum per quindecim) aequale est centum quattuor euro et quinquaginta quinque centesimis.