Resolució del Sistema d’Equacions Lineals pel Mètode de Gauss

Tenim el següent sistema d’equacions:\[\begin{cases}x_1 – 4x_2 – 2x_3 = -3 \\3x_1 + x_2 + x_3 = 5 \\3x_1 – 5x_2 – 6x_3 = -9\end{cases}\] resoleu-ho pel mètode de Gauss.

El mètode de Gauss consisteix a transformar la matriu augmentada del sistema en una forma esglaonada (o triangular superior) mitjançant operacions elementals sobre les files, i després resoldre el sistema per substitució enrere.

Pas 1: Escriure la matriu augmentada. La matriu augmentada del sistema és:\[\begin{pmatrix}1 & -4 & -2 & | & -3 \\3 & 1 & 1 & | & 5 \\3 & -5 & -6 & | & -9\end{pmatrix}\]

Pas 2: Aplicar el mètode de Gauss per obtenir una matriu esglaonada. Objectiu: Fer zeros sota el pivot de la primera columna (el pivot és el 1 de la posició \( (1,1) \)).

– Fila 2: Eliminem el 3 de la posició \( (2,1) \). Restem 3 vegades la fila 1 de la fila 2 (\( F_2 \gets F_2 – 3F_1 \)):\[F_2 – 3F_1 = (3, 1, 1, 5) – 3 \cdot (1, -4, -2, -3) = (3 – 3, 1 – 3(-4), 1 – 3(-2), 5 – 3(-3))\]\[= (0, 1 + 12, 1 + 6, 5 + 9) = (0, 13, 7, 14)\]La matriu esdevé:\[\begin{pmatrix}1 & -4 & -2 & | & -3 \\0 & 13 & 7 & | & 14 \\3 & -5 & -6 & | & -9\end{pmatrix}\]

– Fila 3: Eliminem el 3 de la posició \( (3,1) \). Restem 3 vegades la fila 1 de la fila 3 (\( F_3 \gets F_3 – 3F_1 \)):\[F_3 – 3F_1 = (3, -5, -6, -9) – 3 \cdot (1, -4, -2, -3) = (3 – 3, -5 – 3(-4), -6 – 3(-2), -9 – 3(-3))\]\[= (0, -5 + 12, -6 + 6, -9 + 9) = (0, 7, 0, 0)\]La matriu esdevé:\[\begin{pmatrix}1 & -4 & -2 & | & -3 \\0 & 13 & 7 & | & 14 \\0 & 7 & 0 & | & 0\end{pmatrix}\] Objectiu: Fer un zero sota el pivot de la segona columna (el pivot és el 13 de la posició \( (2,2) \)).

– Fila 3: Eliminem el 7 de la posició \( (3,2) \). Restem \( \frac{7}{13} \) vegades la fila 2 de la fila 3 (\( F_3 \gets F_3 – \frac{7}{13}F_2 \)):\[F_3 – \frac{7}{13}F_2 = (0, 7, 0, 0) – \frac{7}{13} \cdot (0, 13, 7, 14)\]\[= (0, 7 – \frac{7}{13} \cdot 13, 0 – \frac{7}{13} \cdot 7, 0 – \frac{7}{13} \cdot 14)\]\[= (0, 7 – 7, 0 – \frac{49}{13}, 0 – \frac{98}{13}) = (0, 0, -\frac{49}{13}, -\frac{98}{13})\]La matriu esdevé:\[\begin{pmatrix}1 & -4 & -2 & | & -3 \\0 & 13 & 7 & | & 14 \\0 & 0 & -\frac{49}{13} & | & -\frac{98}{13}\end{pmatrix}\]

Pas 3: Substitució enrere Ara tenim un sistema triangular superior:\[\begin{cases}x_1 – 4x_2 – 2x_3 = -3 \\13x_2 + 7x_3 = 14 \\-\frac{49}{13}x_3 = -\frac{98}{13}\end{cases}\]

– Tercera equació: Resolem per \( x_3 \):\[-\frac{49}{13}x_3 = -\frac{98}{13}\]\[x_3 = \frac{-\frac{98}{13}}{-\frac{49}{13}} = \frac{98}{49} = 2\]

– Segona equació: Substituïnt \( x_3 = 2 \), resolem per \( x_2 \):\[13x_2 + 7 \cdot 2 = 14\]\[13x_2 + 14 = 14\]\[13x_2 = 0\]\[x_2 = 0\]

– Primera equació: Substituïnt \( x_2 = 0 \) i \( x_3 = 2 \), resolem per \( x_1 \):\[x_1 – 4 \cdot 0 – 2 \cdot 2 = -3\]\[x_1 – 4 = -3\]\[x_1 = -3 + 4 = 1\]

Pas 4: Solució del sistema. La solució del sistema és:\[x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2\]

Pas 5: Comprovació Substituïnt \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 2 \) a les equacions originals:- Primera equació:\[1 – 4 \cdot 0 – 2 \cdot 2 = 1 – 4 = -3 \quad \text{(correcte)}\]- Segona equació:\[3 \cdot 1 + 0 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(correcte)}\]- Tercera equació:\[3 \cdot 1 – 5 \cdot 0 – 6 \cdot 2 = 3 – 12 = -9 \quad \text{(correcte)}\] La solució és correcta.

La solució del sistema, obtinguda pel mètode de Gauss, és:\[x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2\]