Càlcul de Continuïtat, Derivabilitat i Recta Tangent d’una Funció a trossos

a) Calcula els valors dels paràmetres \( a, b \in \mathbb{R} \) perquè la funció\[f(x) = \begin{cases} x^2 – 2x + a & \text{si } x \leq 0 \\x^2 + b e^x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}\]sigui contínua i derivable a \( x = 0 \). b) Per als valors de \( a \) i \( b \) trobats, calcula l’equació de la recta tangent a la gràfica de \( f(x) \) en el punt d’abscissa \( x = 0 \).

a) Continuïtat i derivabilitat de \( f(x) \) a \( x = 0 \) Perquè la funció sigui contínua a \( x = 0 \), el límit per l’esquerra i per la dreta han de ser iguals al valor de la funció en aquest punt. Com que \( x = 0 \) cau al cas \( x \leq 0 \), tenim:\[f(0) = 0^2 – 2 \cdot 0 + a = a\]Cal que el límit per la dreta (\( x > 0 \)) coincideixi amb \( f(0) \):\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + b e^x + 3) = 0^2 + b e^0 + 3 = b + 3\]Per la continuïtat, hem de tenir:\[a = b + 3 \quad (1)\]Ara, perquè la funció sigui derivable a \( x = 0 \), les derivades laterals han de ser iguals. Calculem les derivades:- Per \( x \leq 0 \), \( f(x) = x^2 – 2x + a \), la derivada és:\[f'(x) = 2x – 2\]Derivada per l’esquerra a \( x = 0 \):\[f'(0^-) = 2 \cdot 0 – 2 = -2\]- Per \( x > 0 \), \( f(x) = x^2 + b e^x + 3 \), la derivada és:\[f'(x) = 2x + b e^x\]Derivada per la dreta a \( x = 0 \):\[f'(0^+) = 2 \cdot 0 + b e^0 = b\]Per la derivabilitat, les derivades han de coincidir:\[-2 = b \quad (2)\]Substituint \( b = -2 \) a l’equació (1):\[a = -2 + 3 = 1\]Per tant, els valors són:\[a = 1, \quad b = -2\]

b) Equació de la recta tangent a \( x = 0 \) Amb \( a = 1 \) i \( b = -2 \), la funció és:\[f(x) = \begin{cases} x^2 – 2x + 1 & \text{si } x \leq 0 \\x^2 – 2 e^x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}\]El punt de la gràfica a \( x = 0 \) és:\[f(0) = 0^2 – 2 \cdot 0 + 1 = 1\]Per tant, el punt és \( (0, 1) \).La derivada a \( x = 0 \) (ja calculada) és:\[f'(0) = -2\]L’equació de la recta tangent és de la forma \( y = m x + n \), on \( m = f'(0) = -2 \). Substituint el punt \( (0, 1) \):\[1 = -2 \cdot 0 + n \implies n = 1\]Per tant, l’equació de la recta tangent és:\[y = -2x + 1\]

Resposta final

a) \( a = 1 \), \( b = -2 \)

b) \( y = -2x + 1 \)