Continuïtat d’una funció definida a trossos

Determina el valor de $\alpha$ tal que la funció definida per\[f(x) =\begin{cases}\dfrac{x^2 \cdot \arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin^3(\alpha x) + e^{\sin x} \cdot \sin(2x^3)}, & \text{si } x \neq 0, \\[1.2em]\dfrac{1}{20}, & \text{si } x = 0,\end{cases}\]sigui contínua en $x = 0$.

Perquè la funció sigui contínua en $x = 0$, cal que:\[\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = \frac{1}{20}.\]

1. Desenvolupem el límit per $x \to 0$: Aproximem les funcions elementals per valors petits de $x$:\[\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \approx \frac{x}{2}, \quad\sin(\alpha x) \approx \alpha x, \quad\sin(2x^3) \approx 2x^3, \quad e^{\sin x} \approx 1 + x.\]Substituïm aquestes aproximacions a la funció per $x \neq 0$:\[f(x) \approx \frac{x^2 \cdot \frac{x}{2}}{(\alpha x)^3 + (1 + x)\cdot 2x^3}= \frac{x^3 / 2}{x^3(\alpha^3 + 2 + 2x)}= \frac{1/2}{\alpha^3 + 2 + 2x}.\]Quan $x \to 0$:\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2(\alpha^3 + 2)}.\]

2. Imposant la condició de continuïtat: \[\frac{1}{2(\alpha^3 + 2)} = \frac{1}{20}.\]

3. Resolem per $\alpha$: \[2(\alpha^3 + 2) = 20 \implies \alpha^3 + 2 = 10 \implies \alpha^3 = 8 \implies \alpha = 2.\]

Resposta final: \[\boxed{\alpha = 2}.\]