Càlcul del límit amb valors absoluts

Calcula el límit següent:\[\lim_{x \to 0} \frac{|3x + 2| – |2x – 2|}{3x}\]

• $\textbf{Analitzem el signe dins dels valors absoluts quan \(x \to 0\):}$
  • \(3x + 2 > 0\) (ja que \(2\) és positiu i \(3x\) és molt petit). Així doncs, \(|3x + 2| = 3x + 2\).
  • \(2x – 2 < 0\) (ja que \(-2\) és negatiu i \(2x\) és molt petit). Així doncs, \(|2x – 2| = -(2x – 2) = -2x + 2\).

• $\textbf{Substituïm aquestes expressions dins el límit:}$ \[ \frac{|3x + 2| – |2x – 2|}{3x} = \frac{(3x + 2) – (-2x + 2)}{3x} \]

• $\textbf{Simplifiquem el numerador:}$ \[ (3x + 2) – (-2x + 2) = 3x + 2 + 2x – 2 = 5x \]

• $\textbf{Simplifiquem la fracció:}$ \[ \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3} \]

\[\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{|3x + 2| – |2x – 2|}{3x} = \frac{5}{3}}\]