Anàlisi estadística dels retards de 16 vols seleccionats a l’atzar

En una companyia aèria s’escullen a l’atzar 16 vols i s’anota el retard de cada vol expressat en minuts: \[ 19,\ 0,\ 6,\ 11,\ 16,\ 21,\ 22,\ 22,\ 24,\ 25,\ 4,\ 9,\ 3,\ 18,\ 16,\ 17 \]

• Calculeu la mitjana aritmètica i la desviació típica del retard.
• Calculeu el primer i tercer quartil i interpreteu-ne els resultats.
• Elaboreu un histograma del retard dels vols amb intervals d’amplitud 5, començant per l’interval 0–5.
• Quin percentatge de vols té més de 15 minuts de retard?

Donades les dades dels retards (en minuts): \[ 19,\ 0,\ 6,\ 11,\ 16,\ 21,\ 22,\ 22,\ 24,\ 25,\ 4,\ 9,\ 3,\ 18,\ 16,\ 17 \]

Ordenem les dades: \[ 0,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 11,\ 16,\ 16,\ 17,\ 18,\ 19,\ 21,\ 22,\ 22,\ 24,\ 25 \] \[ n = 16 \]

a) Mitjana aritmètica i desviació típica (dividint per \(n\))

Mitjana aritmètica: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{233}{16} = 14{,}5625 \approx \boxed{14{,}56} \]

Variança poblacional (divisor \(n\)): \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n} = \frac{966{,}5}{16} = 60{,}40625 \]

Desviació típica poblacional: \[ \sigma = \sqrt{60{,}40625} = 7{,}772 \approx \boxed{7{,}77} \]

$\textbf{Resultat final (a):}$ Mitjana: \(\boxed{14{,}56}\) minuts Desviació típica (per \(n\)): \(\boxed{7{,}77}\) minuts

b) Primer i tercer quartil i interpretació

Posició de \(Q_1\): \(\frac{n+1}{4} = 4{,}25\) \(\to\) entre 4t i 5è valor (6 i 9) \[ Q_1 = 6 + 0{,}25(9-6) = 6{,}75 \quad \boxed{Q_1 = 6{,}75} \]

Posició de \(Q_3\): \(\frac{3(n+1)}{4} = 12{,}75\) \(\to\) entre 12è i 13è valor (21 i 22) \[ Q_3 = 21 + 0{,}75(22-21) = 21{,}75 \quad \boxed{Q_3 = 21{,}75} \]

Interpretació}

• El $\textbf{25%}$ dels vols tenen retard \(\leq 6{,}75\) minuts.
• El $\textbf{75%}$ dels vols tenen retard \(\leq 21{,}75\) minuts.
• El $\textbf{50% central}$ dels vols (rangs interquartílic) tenen retards entre $\textbf{6{,}75 i 21{,}75 minuts}$.

c) Histograma (intervals d’amplitud 5, iniciant a 0–5)

d) Percentatge de vols amb més de 15 minuts de retard

Vols $>$ 15: \(16, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 22, 24, 25\) \(\to\) \textbf{10 vols}

\[ \frac{10}{16} \times 100 = 62{,}5\% \]

$\textbf{Resposta final (d):}$ \(\boxed{62{,}5\%}\) dels vols tenen més de 15 minuts de retard.