Anàlisi de la derivabilitat de la funció (g(x)) definida a partir d’una funció acotada (f) sense límits laterals en (x=0)

Sigui $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funció acotada tal que els seus límits laterals en $x = 0$ no existeixen. Definim la funció $g(x)$ com: $$
g(x) =
\begin{cases}
x^2 f(x) & \text{si } x \neq 0, \\
0 & \text{si } x = 0.
\end{cases}$$
Digues quina de les següents afirmacions és CERTA:

(a) La funció $g(x)$ no és derivable en $x = 0$).
(b) La funció $g(x)$ és derivable en $x = 0$.
(c) La funció $g(x)$ és derivable i la seva derivada és contínua en $x = 0$.
(d) La funció $g(x)$ és dues vegades derivable en $x = 0$.
(e) Cap de les anteriors afirmacions és certa.

1. Derivabilitat de $g$ en $x = 0$

Per determinar si $g$ és derivable en $0$, calculem el límit del quocient incremental:
$$\frac{g(x) – g(0)}{x – 0} = \frac{g(x)}{x} = \frac{x^2 f(x)}{x} = x f(x) \quad \text{per } x \neq 0.$$
Com que (f) és acotada, existeix (M > 0) tal que (|f(x)| \leq M) per a tot (x). Així doncs,
$$|x f(x)| \leq M |x|.$$
Prenent el límit quan $x \to 0$,
$$\lim_{x \to 0} x f(x) = 0,$$
ja que $M |x| \to 0$. Aquest límit existeix i és independent del costat (dret o esquerre), per tant:
$$g'(0) = 0.$$
Conclusió: $g$ és derivable en $x = 0$.

2. Anàlisi de les opcions

• (a) Falsa: $g$ sí és derivable en $0$.
• (b) Certa: com hem demostrat, $g'(0) = 0$.
• (c) Falsa: encara que $g$ sigui derivable, no tenim garantida la continuïtat de $g’$ en $0$.
• (d) Falsa: per ser dues vegades derivable, caldria que $g’$ fos derivable en $0$, però ni tan sols és contínua en general.
• (e) Falsa: l’opció (b) sí és certa.

3. Contraexemple per a la continuïtat de $g’$

Considerem
$$f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad (x \neq 0), \quad f(0) = 0.$$
Aquesta funció és acotada ($|f(x)| \leq 1$) i els límits laterals en $0$ no existeixen.

Aleshores,
$$g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad (x \neq 0), \quad g(0) = 0.$$
Ja sabem que $g'(0) = 0$. Per $x \neq 0$,
$$g'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) – \cos\left(\frac{1}{x}\right).$$
El terme $2x \sin(1/x) \to 0$, però $\cos(1/x)$ oscil·la entre $-1$ i $1$ sense límit. Per tant,
$$\lim_{x \to 0} g'(x) \quad \text{no existeix},$$
i $g’$ no és contínua en $x = 0$.

Resposta final

L’única afirmació certa és:

(b) La funció $g(x)$ és derivable en $x = 0$.