Derivada implícita i càlcul de (g'(0))

Considerem la funció $y = y(x)$ definida de manera implícita per l’equació: $$x + y^3 = \tan(xy) + \ln(1 + x^2) + 8.$$ Quan (y(x) > 0), definim la funció $$g(x) = e^{-3 \sqrt{y(x)}}.$$ Es demana el valor de $g'(0)$.

Pas 1: Valor de $y(0)$

Substituïm $x = 0$ a l’equació implícita:
$$0 + y(0)^3 = \tan(0 \cdot y(0)) + \ln(1 + 0^2) + 8 \implies y(0)^3 = \tan(0) + \ln(1) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8.$$
Per tant,
$$y(0)^3 = 8 \implies y(0) = 2 \quad (\text{ja que } y(x) > 0 \text{ en una veïnatge de } 0).$$

Pas 2: Derivada implícita $y'(x)$

Diferenciem ambdues bandes de l’equació respecte de $x$:

Banda esquerra:
$$1 + 3y^2 y’.$$

Banda dreta:
$$\sec^2(xy) \cdot (y + x y’) + \frac{2x}{1 + x^2}.$$

Equació derivada:
$$1 + 3y^2 y’ = \sec^2(xy) (y + x y’) + \frac{2x}{1 + x^2}.$$

Avaluem en $x = 0$, $y = 2$:
$$xy = 0 \implies \sec^2(0) = 1, \quad \frac{2 \cdot 0}{1 + 0} = 0.$$
$$1 + 3(2)^2 y'(0) = 1 \cdot (2 + 0 \cdot y'(0)) + 0 \implies 1 + 12 y'(0) = 2.$$
$$12 y'(0) = 1 \implies y'(0) = \frac{1}{12}.$$

Pas 3: Expressió de $g(x)$ i la seva derivada

$$g(x) = e^{-3 \sqrt{y(x)}} = \exp\left(-3 y(x)^{1/2}\right).$$
Apliquem la regla de la cadena:
$$g'(x) = \exp\left(-3 \sqrt{y}\right) \cdot \left(-3\right) \cdot \frac{1}{2} y^{-1/2} \cdot y’.$$
$$g'(x) = g(x) \cdot \left(-\frac{3}{2 \sqrt{y(x)}}\right) y'(x).$$

Pas 4: Avaluació en $x = 0$

Sabem que:

• $y(0) = 2 \implies \sqrt{y(0)} = \sqrt{2}$,
• $g(0) = e^{-3 \sqrt{2}}$,
• $y'(0) = \frac{1}{12}$.

Substituïm:
$$g'(0) = e^{-3 \sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{3}{2 \sqrt{2}}\right) \cdot \frac{1}{12}.$$
Simplifiquem el factor:
$$-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{12} = -\frac{3}{24 \sqrt{2}} = -\frac{1}{8 \sqrt{2}}.$$
Rationalitzem:
$$-\frac{1}{8 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{16}.$$

Per tant,
$$g'(0) = e^{-3 \sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{16}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{16} e^{-3 \sqrt{2}}.$$

Resposta final

El valor de $g'(0)$ és:
$$\boxed{-\dfrac{\sqrt{2}}{16} e^{-3\sqrt{2}}}$$