Intersecció de dos plans. Càlcul de la recta

Trobar la intersecció de dos sistemes de dues equacions lineals: $$\begin{cases} x – 2y + 3z + 1 = 0 \\ 2x – y – 4z – 8 = 0 \end{cases}$$

Aquest sistema representa dues equacions de tres variables, per tant la seva intersecció és una recta (si no són coincidents).
Per trobar la recta, primer trobem un punt $M$ que pertanyi a la intersecció. Fixem, per exemple, $z = 1$, i resolguem el sistema amb aquesta condició afegida: $$\begin{cases} x – 2y = 2 \\ 2x + y = 4\end{cases}$$

Resolent això: $$x = 2, \quad y = 0$$

Així, el punt $M(2, 0, 1)$ pertany a la recta solució.

Per trobar la direcció de la recta, trobem dos vectors directors del pla, per exemple: $$n_1 = \langle 1; -2; 3 \rangle, \quad n_2 = \langle 2; -1; -4 \rangle$$

El vector director de la recta és el producte vectorial dels dos vectors directors (ja que la recta és la intersecció de dos plans): $$[n_1, n_2] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = \langle 5; 10; 5 \rangle$$

Per tant, l’equació paramètrica de la recta és: $$\frac{x – 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z – 1}{1}$$

o també: $$\frac{x – 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}$$