Discussió un sistema d’equacions segons un paràmetre

Consideri el sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x + my -z & = & -2+2my\\ mx- y+4z & = & 5+2z\\ 6x-10y-z & = & -1\end{array}\right\}$$

1. Discuteix les solucions de sistema segons els valors de $m$
2. Resol el sistema quan sigui compatible indeterminat.

---

Sistema d’equacions

El sistema donat és:
$$\begin{cases}
x + my – z = -2 + 2my \\
mx – y + 4z = 5 + 2z \\
6x – 10y – z = -1
\end{cases}$$

Reorganitzem per portar tots els termes al mateix costat:

1. $x + my – z + 2 – 2my = 0 \implies x + (m – 2m)y – z + 2 = 0 \implies x – my – z + 2 = 0$.
2. $mx – y + 4z – 5 – 2z = 0 \implies mx – y + 2z – 5 = 0$.
3. $6x – 10y – z + 1 = 0$.

Així, el sistema queda:
$$\begin{cases}
x – my – z = -2 \\
mx – y + 2z = 5 \\
6x – 10y – z = -1
\end{cases}$$

---

Forma matricial

Expressem el sistema com $A \vec{x} = \vec{b}$, amb:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -m & -1 \\ m & -1 & 2 \\ 6 & -10 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

La matriu ampliada és:
$$(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & -m & -1 & -2 \\ m & -1 & 2 & 5 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Segons el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és:

• Compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b})$.
• Compatible determinat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = 3$.
• Compatible indeterminat si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) < 3$.
• Incompatible si $\text{rang}(A) < \text{rang}(A|\vec{b})$.

Per determinar el rang, reduirem la matriu ampliada $(A|\vec{b})$. Com que el rang de $A$ no pot superar el de $(A|\vec{b})$, i $A$ és una matriu $3 \times 3$, analitzarem el rang de $(A|\vec{b})$ i deduirem el de $A$.

---

Pas 1: Discussió segons els valors de $m$

Per saber quan el rang pot ser menor que 3, calculem el determinant de $A$ i trobem els valors de $m$ que fan $\det(A) = 0$:
$$\det(A) = \det \begin{pmatrix} 1 & -m & -1 \\ m & -1 & 2 \\ 6 & -10 & -1 \end{pmatrix}.$$

Expandim per la primera fila:
$$\det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -10 & -1 \end{pmatrix} – (-m) \cdot \det \begin{pmatrix} m & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} m & -1 \\ 6 & -10 \end{pmatrix}.$$

Calculem:

1. $\det \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -10 & -1 \end{pmatrix} = (-1)(-1) – (2)(-10) = 1 + 20 = 21$.
2. $\det \begin{pmatrix} m & 2 \ 6 & -1 \end{pmatrix} = m(-1) – (2)(6) = -m – 12$.
3. $\det \begin{pmatrix} m & -1 \ 6 & -10 \end{pmatrix} = m(-10) – (-1)(6) = -10m + 6$.

Aleshores:
$$\det(A) = 21 + m(-m – 12) – (-10m + 6) = 21 – m^2 – 12m + 10m – 6 = -m^2 – 2m + 15.$$

Resolem $\det(A) = 0$:
$$-m^2 – 2m + 15 = 0 \implies m^2 + 2m – 15 = 0.$$
$$m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \implies m = 3, \quad m = -5.$$

Analitzarem els casos:

• $m \neq 3, m \neq -5$: $\det(A) \neq 0$, per tant, $\text{rang}(A) = 3$.
• $m = 3$ o $m = -5$: $\det(A) = 0$, i cal comprovar el rang de $(A|\vec{b})$.

---

Pas 2: Anàlisi del rang de $(A|\vec{b})$

Cas 1: $m \neq 3, m \neq -5$

Com que $\det(A) \neq 0$, $\text{rang}(A) = 3$. Reduïm $(A|\vec{b})$ per confirmar el rang:
$$(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & -m & -1 & -2 \\ m & -1 & 2 & 5 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Apliquem operacions elementals:

• Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 – $m \cdot$ Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & -m & -1 & -2 \ 0 & -1 + m^2 & 2 + m & 5 + 2m \ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$
• Fila 3 $\leftarrow$ Fila 3 – 6·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & -m & -1 & -2 \\ 0 & -1 + m^2 & 2 + m & 5 + 2m º\ 0 & -10 + 6m & 5 & 11 \end{pmatrix}.$$

La segona i tercera files no són proporcionalment dependents per a $m \neq 3, -5$, i la matriu té tres files no nul·les linealment independents (ja que $\det(A) \neq 0$). Per tant:
$$\text{rang}(A|\vec{b}) = \text{rang}(A) = 3.$$
El sistema és compatible determinat (única solució).

Cas 2: $m = 3$

Substituïm $m = 3$:
$$(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 5 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Reduïm:

• Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 – 3·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -2 \\ 0 & 8 & 5 & 11 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$
• Fila 3 ( \leftarrow ) Fila 3 – 6·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -2 \\ 0 & 8 & 5 & 11 \\ 0 & 8 & 5 & 11 \end{pmatrix}.$$
• Fila 3 ( \leftarrow ) Fila 3 – Fila 2:
  $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -2 \\ 0 & 8 & 5 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

La matriu ampliada té dues files no nul·les, per tant:
$$\text{rang}(A|\vec{b}) = 2.$$
Com $A$ és una submatriu de $(A|\vec{b})$, $\text{rang}(A) \leq 2$. Comprovem $A$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 6 & -10 & -1 \end{pmatrix}.$$
Reduïm $A$ (com abans):
$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & 8 & 5 \\ 0 & 8 & 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & 8 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
$$\text{rang}(A) = 2.$$

Com:
$$\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = 2 < 3,$$
el sistema és compatible indeterminat amb una dimensió de l’espai de solucions igual a $3 – 2 = 1$.

Cas 3: $m = -5$

Substituïm $m = -5$:
$$(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 \\ -5 & -1 & 2 & 5 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Reduïm:

• Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 + 5·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 \\ 0 & 24 & -3 & -5 \\ 6 & -10 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$
• Fila 3 $\leftarrow$ Fila 3 – 6·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 \\ 0 & 24 & -3 & -5 \\ 0 & -40 & 5 & 11 \end{pmatrix}.$$
• Fila 3 $\leftarrow$ Fila 3 + \frac{5}{3}·Fila 2:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 \\ 0 & 24 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{8}{3} \end{pmatrix}.$$

La tercera fila no nul·la indica:
$$\text{rang}(A|\vec{b}) = 3.$$

Per $A$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ -5 & -1 & 2 \\ 6 & -10 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 24 & -3 \\ 0 & -40 & 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 24 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
$$\text{rang}(A) = 2.$$

Com:
$$\text{rang}(A) = 2 < \text{rang}(A|\vec{b}) = 3,$$
el sistema és incompatible.

---

Pas 3: Resoldre el sistema quan és compatible indeterminat ($m = 3$)

Per $m = 3$, la matriu ampliada reduïda és:
$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & -2 \\ 0 & 8 & 5 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

El sistema equivalent és:
$$\begin{cases}
x – 3y – z = -2 \\
8y + 5z = 11
\end{cases}$$

Resolem:

• De la segona equació: $8y + 5z = 11 \implies y = \frac{11 – 5z}{8}$.
• Substituïm $y$ a la primera equació:
  $$x – 3 \cdot \frac{11 – 5z}{8} – z = -2.$$
  Multipliquem per $8$:
  $$8x – 3(11 – 5z) – 8z = -16.$$
  $$8x – 33 + 15z – 8z = -16.$$
  $$8x + 7z = 17 \implies x = \frac{17 – 7z}{8}.$$

La solució general és:
$$x = \frac{17 – 7z}{8}, \quad y = \frac{11 – 5z}{8}, \quad z \in \mathbb{R}.$$

En forma vectorial:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{17}{8} \ \frac{11}{8} \ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -\frac{7}{8} \ -\frac{5}{8} \ 1 \end{pmatrix}, \quad z \in \mathbb{R}.$$

---

Resum final

• Discussió segons $m$:
• Si $m \neq 3, m \neq -5$: Compatible determinat ($\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = 3$).
• Si $m = 3$: Compatible indeterminat ($\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = 2 < 3$).
• Si $m = -5$: Incompatible ($\text{rang}(A) = 2 < \text{rang}(A|\vec{b}) = 3$).
• Solució per $m = 3$:
  $$x = \frac{17 – 7z}{8}, \quad y = \frac{11 – 5z}{8}, \quad z \in \mathbb{R}.$$
  O vectorialment:
  $$\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{17}{8} \\ \frac{11}{8} \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -\frac{7}{8} \\ -\frac{5}{8} \\ 1 \end{pmatrix}, \quad z \in \mathbb{R}.$$