Classificació i resolució d’un sistema lineal segons el paràmetre m

1. Classifica el següent sistema segons els valors del paràmetre $m$:$$\left\{\begin{array}{ccc}2x + my &=& 0 \\x + mz &=& m \\x + y + 3z &=& 1\end{array}\right.$$

Pas 1: Matriu de coeficients i matriu ampliada $$(A|A^*) = \left(\begin{array}{ccc|c}2 & m & 0 & 0 \\1 & 0 & m & m \\1 & 1 & 3 & 1\end{array}\right)$$

Pas 2: Determinant de la matriu de coeficients $A$ $$|A| = \left|\begin{array}{ccc}2 & m & 0 \\1 & 0 & m \\1 & 1 & 3\end{array}\right| = m^2 – 5m$$$$|A| = 0 \Leftrightarrow m^2 – 5m = 0 \Rightarrow m = 0 \quad \text{o} \quad m = 5$$

Casos a analitzar:

• Si $m \neq 0$ i $m \neq 5$: $$ |A| \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A) = 3 $$ Com que la matriu ampliada $A^*$ conté $A$, també té rang 3: $$ \text{rg}(A^*) = 3 $$ Amb 3 incògnites i segons el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat (SCD): té una única solució.

• Si $m = 0$: Substituint $m = 0$ a les matrius: $$ (A|A^*) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) $$ El rang de $A$ és 2, ja que el determinant d’una submatriu 2×2 és diferent de zero: $$ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right| = 1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A) = 2 $$ El rang de $A^*$ també és 2, ja que no hi ha cap submatriu 3×3 amb determinant diferent de zero. Amb 3 incògnites i segons el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és compatible indeterminat (SCI): té infinites solucions.

• Si $m = 5$: Substituint $m = 5$ a les matrius: $$ (A|A^*) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) $$ El rang de $A$ és 2, ja que el determinant d’una submatriu 2×2 és diferent de zero: $$ \left| \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = -5 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A) = 2 $$ El rang de $A^*$ és 3, ja que hi ha una submatriu 3×3 amb determinant diferent de zero. Com que els rangs són diferents, segons el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és incompatible (SI): no té solució.

Resum:

• $m \neq 0$ i $m \neq 5$: SCD (una única solució)

• $m = 0$: SCI (infinites solucions)

• $m = 5$: SI (sense solució)

2. Resol el sistema anterior per a $m = 6$

Com que $m = 6$, estem en el cas de SCD. Resolem el sistema utilitzant la Regla de Cramer.

Determinant de la matriu de coeficients $A$: $$|A| = m^2 – 5m = 36 – 30 = 6$$

Determinants per a cada incògnita:

• Determinant per a $x$ ($\Delta_x$): $$ \Delta_x = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 0 \\ 6 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = -72 \Rightarrow x = \frac{\Delta_x}{|A|} = \frac{-72}{6} = -12 $$*m

• Determinant per a $y$ ($\Delta_y$): $$ \Delta_y = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = 24 \Rightarrow y = \frac{\Delta_y}{|A|} = \frac{24}{6} = 4 $$

• Determinant per a $z$ ($\Delta_z$): $$ \Delta_z = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = 18 \Rightarrow z = \frac{\Delta_z}{|A|} = \frac{18}{6} = 3 $$

Solució del sistema per a $m = 6$: $$x = -12, \quad y = 4, \quad z = 3$$

Versió en castellà