Problema 5

1. Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro $m$
$$\left.
\begin{array}{ccc}
2x+ my & = & 0 \\
x + mz & = & m \\
x + y+ 3z & = & 1
\end{array}
\right\}$$

Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

$$(A|A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & m & 0 & 0 \\
1 & 0 & m & m \\
1 & 1 & 3 & 1
\end{array}
\right)$$

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes usando la Regla de Sarrus.

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}
2 & m & 0 \\
1 & 0 & m \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right| = m^2-5m$$

$$|A| = 0 \Leftrightarrow m^2-5m=0 \Leftrightarrow \textcolor{blue}{m=0} \:;\: \textcolor{blue}{m=5}$$

Tenemos que distinguir y analizar 3 casos distintos:

• Si $m \not=0$ y $m \not=5$

Si $m \neq 0$ y $m \neq 5\longrightarrow A|\neq 0 \longrightarrow rg(A)=3$

El rango de la matriz ampliada (A*) tiene que ser mayor o igual que 3 (pues contiene a la matriz A), pero como tiene 3 filas no puede ser mayor que 3. Por tanto $rg(A^*)=3$

Como el número de incógnitas también es 3, según el Teorema de Rouché-Fröbenius es un Sistema Compatible Determinado (solución única)

• Si  $m = 0 \longrightarrow$ sabemos que $|A|=0\longrightarrow rg(A)<3$

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 0) y calculamos sus rangos:

$$(A|A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} & 3 & 1
\end{array}
\right) \qquad
\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right| = 1 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$$

$$\left|\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right| = 0 \longrightarrow rg(A*)=2$$

$$rg(A) = rg(A*) < n^\circ \: incógnitas \xrightarrow[Rouche-Fröbenius]{Teorema} S.C.I.$$

• Si $m = 5 \longrightarrow$ sabemos que $|A|=0 \longrightarrow rg(A)<3$

Expresamos las matrices (sustituyendo m por 5) y calculamos sus rangos

$$(A|A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c}
\textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 5 & 5 \\
1 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right) \qquad
\left|\begin{array}{cc}
2 & 5 \\
1 & 0
\end{array}\right| = -5 \neq 0 \longrightarrow rg(A)=2$$

$$\left|\begin{array}{ccc}
2 & 5 & 0 \\
1 & 0 & 5 \\
1 & 1 & 1\end{array}\right|\neq 0\longrightarrow rg(A*)=3$$

$$rg(A) \neq rg(A*) \xrightarrow[Rouche-Fröbenius]{Teorema} S.I$$

Resumen de la discusión del sistema:

• Si $m \not=0$ y $m \not=5$ SCD (1 única solución)
• Si $m = 0 \longrightarrow$ SCI (infinitas soluciones)
• Si $m = 5 \longrightarrow$ SI (no tiene solución)

2. Resuelve el sistema anterior para $m=6$.

Como $m=6$ estamos en el caso de S.C.D.
Se puede resolver por sustitución, Gauss, Cramer, etc.
Lo resolveremos por la Regla de Cramer

$|A| = m^2-5m = 6^2 – 5 \cdot 6 = 6$

$x= \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta}= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 6 & 0 \\
6 & 0 & 6 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right|}{6}=\frac{-72}{6}=-12$

$y=\displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta}= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
1 & 6 & 6 \\
1 & 1 & 3
\end{array}
\right| }{6}=\frac{24}{6}=4$

$z=\displaystyle\frac{\Delta_z}{\Delta}= \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 6 & 0 \\
1 & 0 & 6 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right| }{6}=\frac{18}{6}=3$