Problema 4

Dada la matriz
$$ A =
\left(
\begin{array}{cc}
\lambda +1 & 0\\
1 & -1
\end{array}
\right)$$

1. Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no sea invertible.

Construimos la matriz $A^2+3A$:

$$A^2+3A = \begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\
1 & -1\end{pmatrix}^2+3\begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\
1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\
1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\
1 & -1\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\
1 & -1\end{pmatrix} = $$

$$\begin{pmatrix}\lambda^2+2\lambda +1 & 0\\
\lambda & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\lambda +3 & 0\\
3 & -3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2 +5\lambda+4 & 0\\
\lambda+3 & -2\end{pmatrix}$$

Para que no tenga inversa, su determinante ha de ser nulo:

$$\begin{vmatrix}\lambda^2 +5\lambda+4 & 0\\
\lambda+3 & -2\end{vmatrix}=0\longrightarrow \left(\lambda^2+5\lambda+4\right)\left(-2\right)-0\cdot \left(\lambda+3\right)=0\longrightarrow -2\left(\lambda^2+5\lambda+4\right)=0$$

Resolvemos la ecuación de segundo grado: $\lambda^2+5\lambda+4 = 0$. Obteniendo como solución: $x_1=-1,\:x_2=-4$

Por lo tanto la matriz no será invertible cuando $x_1=-1,\:x_2=-4$.

2. Para $\lambda =0$, halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $2$.

Primero calcularemos el valor de la matriz $A$ para $\lambda = 0$

$$A = \begin{pmatrix}1&0\\ \:1&-1\end{pmatrix}$$

Después aislaremos la matriz $X$ de la ecuación:

$$AX+A=2I$$

$$AX=2I-A$$

$$A^{-1}AX=A^{-1}(2I-A)$$

$$IX =A^{-1}(2I-A)$$

$$X=A^{-1}(2I-A)$$

Deberemos calcular primero la matriz inversa $A^{-1}$ tal como sigue

$$X=\frac{1}{\det \begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}-1&-0\\ -1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}$$

Volviendo a $X=A^{-1}(2I-A)$ y substituyendo obtenemos:

$$X=A^{-1}(2I-A)$$

$$X=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}\cdot\left(2\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\ \:1&-1\end{pmatrix}\right)$$

$$X=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}2&0\\ 0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}\right)$$

$$X=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ -1&3\end{pmatrix}$$

$$\boxed{X = \begin{pmatrix}1&0\\ 2&-3\end{pmatrix}}$$