LEMNISCATA
Matemàtiques
El dominio de una función es el conjunto de entradas o valores de los argumentos para los cuales la función es real y definida:
$$Dom_f = \{x\in \RR | x^2-1\not=0\}\longrightarrow Dom_f= \RR-\{\pm1\}$$
Lo que nos indica que en $x = 1$ y en $x =-1$ tendremos sendas asíntotas verticales.
$$\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right) = \infty$$
como el límite anterior nos da infinito (el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador), significa que no tiene asíntotas horizontales y deberemos buscar si tiene asíntotas oblicuas.
Las asíntotas oblicuas están definidas por $y=mx+n$, donde la pendiente $m= \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ y la ordenada del origen $n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$
$m= \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}\right)=2$
$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx) = \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2x\right)=0$
Es decir; $y=2x$
Para buscar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos; deberemos derivar la función e igualarla a cero:
$y=\displaystyle\frac{2x^3}{x^2-1}\longrightarrow y’=\frac{2\left(x^4-3x^2\right)}{\left(x^2-1\right)^2}\longrightarrow y’=0\longrightarrow \frac{2\left(x^4-3x^2\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=0\longrightarrow2\left(x^4-3x^2\right)=0$
$x^2(x^2-3)=0\longrightarrow x=0;\ x=\pm\sqrt{3}$
Por tanto los posibles máximos o mínimos serán $x=0$, $x=\sqrt{3}$ y $x=-\sqrt{3}$
$\mathrm{Máximo}\left(-\sqrt{3},\:-3\sqrt{3}\right),\:\mathrm{Mínimo}\left(\sqrt{3},\:3\sqrt{3}\right)$
En el punto $x=0$ no hay ni máximo ni mínimo.
$\mathrm{Creciente}:-\infty \:<x<-\sqrt{3}\longrightarrow(-\infty ,-\sqrt{3})$
$\mathrm{Decreciente}:-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\longrightarrow(-\sqrt{3} , \sqrt{3})$
$\mathrm{Creciente}:\sqrt{3}<x<\infty\longrightarrow(\sqrt{3} , \infty)$