Teorema de Bolzano

Sigui una funció $f(x)$ contínua definida en un interval $[a,b$].

Llavors si es compleix que $f(a)⋅f(b)<0$ (és a dir, $f(a)<0$ i $f(b)>$0, o $f(a)>0$ i $f(b)<0$), hi ha almenys un punt $c$ pertanyent a $(a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Aquest teorema pot resultar molt intuïtiu ja que si tenim una funció contínua que en $f(a)$ és negativa (per sota de l’eix de les $x$) i en $f(b)$ és positiva (per sobre de l’eix de les x), o a l’inrevés, com la funció és contínua, han d’estar connectats els punts $f(a)$ i $f(b)$, de manera que la gràfica no tindrà més remei que creuar l’eix de les $x$, i per tant existirà un valor $c$ en el seu interval de definició on $f(c)=0$.

Exemple 1:

Prenguem la funció $f(x)=x−\ln2⁡x$ definida en l’interval $[0.1,0.5]$ i ens preguntem si té algun zero dins de l’interval de definició.

Observem que: $f(0.1)=−5.201898111<0$ i $f(0.5)=0.0195469860>0$

Com l’interval és tancat i la funció contínua, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano i per tant podem aplicar-lo.

El teorema ens diu que hi ha un cert valor $c$ pertanyent a l’interval $[0.1,0.5]$ tal que $f(c) = $.

Per tant es complirà que, $0 = f(c) = c-\ln^2c$, o $c = \ln^2c$. Fixem-nos que hem trobat l’existència d’una solució en l’interval $[0.1,0.5]$ de l’equació $x=\ln^2x$ la qual a priori no sabíem solucionar.