Estudi de la invertibilitat d’una matriu amb paràmetre i resolució d’una equació matricial

1. Determina els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A^2 + 3A$ no sigui invertible.

Donada la matriu:$$A = \begin{pmatrix}\lambda + 1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}$$Calcular $A^2 + 3A$:$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}\lambda + 1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda + 1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\lambda + 1)^2 & 0 \\\lambda + 1 – 1 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2 + 2\lambda + 1 & 0 \\\lambda & 1\end{pmatrix}$$$$3A = 3 \cdot \begin{pmatrix}\lambda + 1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\lambda + 3 & 0 \\3 & -3\end{pmatrix}$$$$A^2 + 3A = \begin{pmatrix}\lambda^2 + 2\lambda + 1 + 3\lambda + 3 & 0 \\\lambda + 3 & 1 – 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2 + 5\lambda + 4 & 0 \\\lambda + 3 & -2\end{pmatrix}$$Perquè $A^2 + 3A$ no sigui invertible, el seu determinant ha de ser zero:$$\det(A^2 + 3A) = (\lambda^2 + 5\lambda + 4)(-2) – 0 \cdot (\lambda + 3) = -2(\lambda^2 + 5\lambda + 4)$$$$-2(\lambda^2 + 5\lambda + 4) = 0 \Rightarrow \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$$Resolent l’equació quadràtica:$$\lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$$$$\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = -4$$Per tant, la matriu $A^2 + 3A$ no és invertible quan $\lambda = -1$ o $\lambda = -4$.

2. Per a $\lambda = 0$, troba la matriu $X$ que verifica l’equació $AX + A = 2I$, sent $I$ la matriu identitat de 2×2

Per a $\lambda = 0$, la matriu $A$ és:$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}$$L’equació donada és:$$AX + A = 2I \Rightarrow AX = 2I – A$$Per trobar $X$, multipliquem amb la inversa de $A$:$$X = A^{-1}(2I – A)$$Calculant la inversa de $A$:$$\det(A) = (1)(-1) – (0)(1) = -1$$$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}$$Calculant $2I – A$:$$2I = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 2\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}$$$$2I – A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\-1 & 3\end{pmatrix}$$Finalment, calculant $X$:$$X = A^{-1}(2I – A) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 \\-1 & 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & -3\end{pmatrix}$$Per tant, la matriu $X$ que verifica l’equació és:$$X = \begin{pmatrix}1 & 0 \\2 & -3\end{pmatrix}$$