Anàlisi de la compatibilitat d’un sistema d’equacions lineals en funció d’un paràmetre

Considera el següent sistema d’equacions:$$\left\{\begin{array}{rcl}x + y + z & = & 0 \\2x + \lambda y + z & = & 2 \\x + y + \lambda z & = & \lambda – 1\end{array}\right.$$

1. Determina el valor de $\lambda$ per al qual el sistema és incompatible.

Per analitzar la compatibilitat del sistema, calculem el determinant de la matriu de coeficients $A$:$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$$El determinant és: $$|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\2 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{array}\right| = \lambda^2 – 3\lambda + 2$$Per determinar els valors de $\lambda$ que fan que el sistema sigui incompatible, cal que el determinant sigui zero:$$\lambda^2 – 3\lambda + 2 = 0$$Resolent aquesta equació quadràtica, obtenim: $$\lambda = 1 \quad \text{o} \quad \lambda = 2$$Per tant, el sistema és incompatible per a $\lambda = 1$ i $\lambda = 2$.

2. Resol el sistema per a $\lambda = 1$

Substituïm $\lambda = 1$ al sistema original:$$\left\{\begin{array}{rcl}x + y + z & = & 0 \\2x + y + z & = & 2 \\x + y + z & = & 0\end{array}\right.$$Les dues primeres equacions són idèntiques, per tant, podem eliminar una d’elles. Això ens deixa amb el sistema:$$\left\{\begin{array}{rcl}x + y + z & = & 0 \\2x + y + z & = & 2\end{array}\right.$$Restant la primera equació de la segona:$$(2x + y + z) – (x + y + z) = 2 – 0$$Això simplifica a:$$x = 2$$Substituïm $x = 2$ a la primera equació:$$2 + y + z = 0$$Això implica:$$y + z = -2$$Per tant, tenim una solució paramètrica:$$\left\{\begin{array}{rcl}x & = & 2 \\y & = & -2 – z \\z & = & t \quad \text{(on \( t \) és un paràmetre real)}\end{array}\right.$$Aquesta és la solució general del sistema per a $\lambda = 1$.