Estimació de la proporció de clients que compren un producte

Una cadena de supermercats desitja estimar la proporció de clients que adquireix un determinat producte. Per a això, ha pres una mostra aleatòria simple de 1000 clients i ha observat que 300 compraven aquest producte. a) Determineu, amb un nivell de confiança del 95%, un interval de confiança per estimar la proporció de clients del supermercat que compren aquest producte. b) Si en una altra mostra la proporció de clients que compren aquest producte és de 0.25 i l’error comès en l’estimació ha estat inferior a 0.03, amb un nivell de confiança del 92.5%, calculeu la mida mínima de la mostra.

a) Interval de confiança per a la proporció (95%). Dades proporcionades:

• Mida de la mostra: \( n = 1000 \)

• Clients que compren el producte: \( x = 300 \)

• Proporció mostral: \( \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{300}{1000} = 0.3 \)

• Nivell de confiança: 95%, per tant, \( \alpha = 0.05 \), i el valor crític \( z_{\alpha/2} = z_{0.025} \approx 1.96 \)

La fórmula de l’interval de confiança per a una proporció és:\[\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}\]Calculem l’error estàndard:\[\sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.3 \cdot (1 – 0.3)}{1000}} = \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{1000}} = \sqrt{\frac{0.21}{1000}} \approx 0.01449\]Calculem el marge d’error:\[z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot 0.01449 \approx 0.0284\]L’interval de confiança és:\[0.3 \pm 0.0284 = [0.2716, 0.3284]\]

Resposta: L’interval de confiança del 95% per a la proporció de clients que compren el producte és \[0.272, 0.328\]

b) Mida mínima de la mostra. Dades proporcionades:

• Proporció mostral: \( \hat{p} = 0.25 \)- Error màxim: \( E = 0.03 \)

• Nivell de confiança: 92.5%, per tant, \( \alpha = 0.075 \), i \( z_{\alpha/2} = z_{0.0375} \approx 1.78 \) (valor aproximat de la taula normal estàndard).

La fórmula per calcular la mida mínima de la mostra és:\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 – \hat{p})}{E^2}\]Substituïm els valors:\[n = \frac{1.78^2 \cdot 0.25 \cdot (1 – 0.25)}{0.03^2}\approx 660.083 \]

Com que la mida de la mostra ha de ser un nombre enter, arrodonim cap amunt:\[n \geq 661\]

Resposta: La mida mínima de la mostra necessària és 661 clients.