Anàlisi i Resolució d’un Sistema d’Equacions Lineals amb Paràmetre

Considera el sistema d’equacions lineals dependent del paràmetre real \(a\): a) Discuteix el sistema segons els valors del paràmetre \(a\). b) Resol el sistema quan sigui compatible indeterminat.

Matriu de coeficients de les incògnites: \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & a \\ a & -1 & 2 \end{pmatrix}\)Matriu ampliada amb la columna de termes independents: \(A’ = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & a \\ 2 & -1 & a & 3a \\ a & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix}\)\(\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & a \\ a & -1 & 2 \end{vmatrix} = -2 – a^2 – 2 + a + 4 + a = -a^2 + 2a\)\(|A| = 0 \iff -a^2 + 2a = 0 \iff a(a – 2) = 0 \iff a = 0 \text{ o } a = 2\)

• Cas 1 \(a \in \mathbb{R} \text{ i } a \neq 0, a \neq 2\) |\(A| \neq 0\). Per tant \(rg(A) = 3 = n^0\) incògnites. Sistema Compatible Determinat (SCD) (Única)

• Cas 2 \(a = 0\). En este cas \(|A| = 0\) i \(rg(A) < 3\). Matriu de coeficients \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\). Matriu ampliada \(A’ = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix}\)Com \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0\), en \(A\) hi ha un menor de 2n no nul i \(rg(A) = 2\). Calculem el rang de la matriu ampliada \(A’\): Orlem el menor \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\), que no’s ha donat el rang de \(A\), i, en la tercera fila i quarta columna de \(A’\): \(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 6\), \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 6 \neq 0\); Per tant \(rg(A’) = 3\)\(2 = rg(A) \neq rg(A’) = 3\). Sistema Incompatible, no té solució

• Cas 3 \(a = 2\). En este cas \(|A| = 0\) i \(rg(A) < 3\). Matriu de coeficients \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\). Matriu ampliada \(A’ = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 & 6 \\ 2 & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix}\)Com \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0\), en \(A\) hi ha un menor de 2n no nul i \(rg(A) = 2\). Calculem el rang de la matriu ampliada \(A’\): Orlem el menor \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\), que no’s ha donat el rang de \(A\), i, en la tercera fila i quarta columna de \(A’\): \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} \cong 0\); Per tant \(rg(A’) = 2\)\(rg(A) = rg(A’) = 2 < n^0\) incògnites: Sistema Compatible Indeterminat.

b) Resolem per \(a = 2\). Observant el menor \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\) que ens ha donat el rang de la matriu \(A\), el sistema equivalent ve donat per les equacions els quals coeficients formen part d’aquest menor, això és $$\begin{cases}x – y + z = 2 \\2x – y = 6 – 2t\end{cases}$$ Les incògnites principals del sistema son aquelles els quals coeficients formen part de les columnes del menor \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\) que no’s ha donat el rang de la matriu \(A\), es dir \(x\) e \(y\). La incògnita \(z\) actua com incògnita no principal o paràmetre. Així, tenim: \(z = t\); $\begin{cases} x – y = 2 – t \\ 2x – y = 6 – 2t\end{cases}$ \(\forall t \in \mathbb{R}\), d’on \(x = 4 – t\), \(y = 2\). La solució ve donada per \(\begin{cases} x = 4 – t \\ y = 2 \\ z = t \end{cases} \forall t \in \mathbb{R}\)