Càlcul de tensions en una corda amb càrrega penjada utilitzant la llei de conservació de l’energia

Una càrrega de massa \( W = 50 \, \text{kJ} \) està penjada al punt mitjà de la corda \( ACB \), com es mostra a la figura; \( AC = CB = 5 \, \text{m} \); \( AB = 5\sqrt{2} \, \text{m} \). Trobeu les tensions \( T_1 \) i \( T_2 \) de la corda.

La corda \( ACB \) està en equilibri, per tant, segons el principi de simetria, les tensions dels trams \( AC \) i \( CB \) de la corda són iguals:\[T_1 = T_2 = T.\]Per simplificar, suposem que la càrrega de pes \( W \) està equilibrada per l’ajuda d’un altre suport, com es mostra a la figura. La qüestió és trobar la tensió de la corda de manera que es compleixi l’equilibri del pes de la càrrega, tenint en compte la tensió \( T \).Suposem que la tensió que suporta la càrrega és \( T \). Per això la càrrega \( W \) està suspesa a una altura \( H \). Prenent el triangle \( ACB \), fem un tall per la meitat i analitzem la corda \( AC \) i \( CB \). La distància entre els punts de suport \( AB \), segons la figura, és una línia recta. Per tant, \( H = CC’ \cdot \sin 45^\circ = \frac{h}{\sqrt{2}} \) (l’angle \( \Delta \alpha \) és molt petit, per tant \( CC’ \) es pot considerar com una prolongació de \( AC \)).Segons la llei de conservació de l’energia, un increment de l’energia potencial de la càrrega \( W \), és a dir, \( T \cdot h = W \cdot H \), d’on:\[T = \frac{H \cdot W}{h} = \frac{W}{\sqrt{2}} = 35.5 \, \text{kJ}.\]Per tant, la tasca es pot resoldre sense considerar cap càrrega addicional. En aquest cas, la tensió hauria de ser la mateixa. Considerem el desplaçament longitudinal, per exemple, al llarg de la corda \( BC \) amb un angle \( \Delta \alpha \). El tram \( AC \) té aquesta distància en línia recta, i la càrrega \( W \) es troba a l’altura \( H = CC’ \cdot \sin 45^\circ \). La força de la tensió es calcula a partir de la força de la tensió al tram \( AC \), que és \( T \cdot CC’ \) (\( CC’ \) és la prolongació de la línia \( AC \)), i la força de la tensió al tram \( BC \). Com que amb un desplaçament molt petit la perpendicular \( BC \) és perpendicular al desplaçament, per tant, la força perpendicular al desplaçament no contribueix a la força de la tensió. Per tant, segons el principi de les feines internes:\[T \cdot CC’ = W \cdot H,\]d’on:\[T = W \cdot \sin 45^\circ = \frac{W}{\sqrt{2}}.\]