Anàlisi del Moviment d’un cotxe i un Camió en una Intersecció

En el moment en què s’encén la llum verda d’un semàfor, un cotxe arrenca amb una acceleració constant de$a = 2{,}5 \ \text{m/s}^2$.Al mateix instant, un camió que es desplaça amb una velocitat constant de$v_c = 10 \ \text{m/s}$ arriba al costat del cotxe i el sobrepassa. a) Dibuixa un gràfic de velocitat en funció del temps per als dos mòbils. b) A quina distància del punt de partida el cotxe atraparà el camió? c) Quina velocitat tindrà el cotxe en aquell moment?

Dades inicials:

• Cotxe: Acelera des del repòs: $v_0 = 0$

• Acceleració constant: $a = 2{,}5 \ \text{m/s}^2$

• Camió: Velocitat constant: $v_c = 10 \ \text{m/s}$

a) Gràfic velocitat vs. temps.

• Camió: línia horitzontal a $v = 10 \ \text{m/s}$, perquè va a velocitat constant.

• Cotxe: línia inclinada que parteix de $v = 0$ i puja amb pendent $a = 2{,}5 \ \text{m/s}^2$, perquè s’accelera.

La intersecció d’aquestes dues corbes ens donarà el moment en què el cotxe arriba a la mateixa velocitat que el camió, però no necessàriament quan l’atrapa (això serà al punt b).

b) A quina distància el cotxe atrapa el camió? Utilitzem les equacions del moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA per al cotxe) i moviment rectilini uniforme (MRU per al camió):

Posició del cotxe: $$ x_c(t) = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot t^2 = 1{,}25 \cdot t^2 $$

Posició del camió: $$ x_t(t) = v_c \cdot t = 10 \cdot t $$

Igualem posicions per trobar el temps $t$ quan es troben: $$1{,}25 \cdot t^2 = 10 \cdot t$$Dividim pels dos costats entre $t$ (suposem $t \neq 0$):$$1{,}25 \cdot t = 10 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{10}{1{,}25} = 8 \ \text{segons}$$Ara substituïm el temps en qualsevol de les dues expressions per trobar la distància:$$x = 10 \cdot 8 = 80 \ \text{metres}$$

✅ Resposta b: El cotxe atrapa el camió a 80 metres del punt de partida.

c) Quina velocitat tindrà el cotxe en aquell moment? Utilitzem:$$v = a \cdot t = 2{,}5 \cdot 8 = 20 \ \text{m/s}$$

✅ Resposta c: El cotxe tindrà una velocitat de 20 m/s quan atrapi el camió.