El teorema de Rouché-Fröbenius

Sigui un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites

$$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+\cdots &+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+\cdots &+a_{2n}x_n&=b_2\\&\vdots&\ddots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+\cdots &+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.$$

que en forma matricial s’escriu de la forma

$$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{M}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}}_X=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}}_N$$
$$M\cdot X=N$$

Anomenarem la matriu de coeficients a la matriu $M$. Anomenarem la matriu ampliada a la matriu $M^*$ que és la matriu formada per la matriu de coeficients juntament amb la matriu de termes independents.

$$M^*=(M|N)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{pmatrix}$$

El rang de la matriu ampliada només pot tenir un dels següents valors:

$$rg(M^*)=\left\{\begin{array}{l}\mbox{rg}(M)\\ \mbox{rg}(M)+1\end{array}\right.$$

recordant que el rang d’una matriu és com molt la menor de les seves dimensions.

El teorema de Rouché-Frobenius classifica un sistema basant-se en els rangs de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada. El teorema es resumeix de la següent manera:

• Si el $rg (M) = rg (M^*) = n$ llavors el sistema és compatible determinat. Té una única solució.
• Si el $rg (M) = rg (M^*) <n$ llavors el sistema és compatible indeterminat. Té infinites solucions.
• Si el $rg (M) <rg (M^*)$ llavors el sistema és incompatible. No té solució.

En el cas de sistemes compatibles indeterminats, la solució de sistema tindrà $n-rg (M)$ paràmetres.