Problema 3. Examen selectivitat Matemàtiques CCSS. Juny 2025 Catalunya

Fa uns anys, una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de $580$ kg i una desviació típica de $25$ kg.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z \sim \text{normal}(0, 1) \to P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95$ i $P(-2,58 \leq Z \leq 2,58) = 0,99$
• Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:
  • Per a la proporció (mostres grans):
    $$\left[ p – z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, \, p + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right]$$
    on $p$ és la proporció mostral, $n$ és la mida de la mostra, i $z_{\alpha/2}$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per a un nivell de confiança $\gamma = 1 – \alpha$.
  • Per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda):
    $$\left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$
    on $\bar{x}$ és la mitjana mostral, $\sigma$ és la desviació típica poblacional, $n$ és la mida de la mostra, i ( z_{\alpha/2} ) és el valor crític de la distribució normal estàndard.
  • Per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda):
    $$\left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$
    on $\bar{x}$ és la mitjana mostral, $s$ és la desviació típica mostral, $n$ és la mida de la mostra, i $z_{\alpha/2}$ és el valor crític de la distribució normal estàndard.

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre $531$ i $629$ kg.

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de $10$ vaques de la granja escollides a l’atzar: $$569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571$$ Trobeu un interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de $25$ kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta.

a) Anomenem $X$ la variable “pes de la vaca”. Ens demanen que calculem $P(531 \leq X \leq 629)$. Sabem que $X$ segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 580$ i desviació típica $\sigma = 25$. Per tant, $Z = \frac{X – 580}{25}$ segueix una distribució normal $(0,1)$. Aleshores,

$$P(531 \leq X \leq 629) = P\left( \frac{531 – 580}{25} \leq \frac{X – 580}{25} \leq \frac{629 – 580}{25} \right) = P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95.$$

Per tant, la probabilitat que el pes de la vaca estigui entre aquests dos valors és de $0,95$.

b) Tenim una mostra de mida $n = 10$. Calculem l’estimació puntual de la mitjana a partir de la mostra i obtenim que

$$\bar{x} = 581,4$$

D’altra banda, sabem que la desviació típica és $\sigma = 25$. L’interval de confiança per a la mitjana d’una variable normal amb un nivell de confiança $\gamma \in (0,1)$, quan la variància $\sigma^2$ és coneguda, s’obté a partir de la fórmula

$$\left[ \bar{x} – z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right],$$

en què, si $Z$ segueix una distribució normal $(0,1)$, $P(-z_{\gamma} \leq Z \leq z_{\gamma}) = \gamma$.

Per tant, tenim que els extrems de l’interval són

$$\bar{x} – z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 581,4 – 1,96 \cdot \frac{25}{\sqrt{10}} = 565,9048$$

i

$$\bar{x} + z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 581,4 + 1,96 \cdot \frac{25}{\sqrt{10}} = 596,8952.$$

L’interval de confiança demanat és $[565,9048, 596,8952]$.

A partir del resultat anterior, no podem afirmar, amb una confiança del $95\%$, que el pes de les vaques hagi canviat perquè el valor $580$ està dins de l’interval que hem obtingut.