Problema sobre matriu inversa

Considereu les matrius: $$A=\begin{pmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}$$

1. Discutiu per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu $A$ té matriu inversa.

Una matriu A té matriu inversa si el seu determinants és diferent de 0. Calculem el determinants de A:

$$|A|=\begin{vmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{vmatrix}=2+2k-2k-2k^2+2-2=-2k^2+2$$

Igualem a 0 aquest determinant i resolem:

$$-2k^2+2=0~;\\ k^2=1~;\\ k=\pm1$$

Després, la matriu $A$ té inversa per tot $k\in\mathbb R\setminus \{- 1,1\}$.

2. Determineu per a $k = 0$ la matriu $X$ que verifica l’equació $AX = B$.

Si aïllem X de l’equació matricial, resulta $$AX=B~;\ X=A^{-1}B$$

Calculem la matriu inversa de A per k = 0 utilitzant la fórmula:

$$\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t};\qquad
|A|=-2\cdot0^2+2=2;\qquad
\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&1&2\\2&-1&-2\\2&-1&-4\end{pmatrix}$$

després

$$A^{-1}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\1&-1&-1\\2&-2&-4\end{pmatrix}$$

Finalment:

$$X=A^{-1}B=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\1&-1&-1\\2&-2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&4&10\\1&-1&-4\\2&-2&-14\end{pmatrix}$$