Càlcul de Rang d’una matriu

Determineu el rang de la matriu $A$ segons els valors de $a$.

$$A(a)=\begin{pmatrix}1&1&a+1&1\\a&0&0&2\\0&a&2&0\end{pmatrix}$$

Calculem el rang d’aquesta matriu utilitzant determinants. Comencem amb les columnes $1$, $2$ i $4$:

$$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&0&2\\0&a&0\end{vmatrix}=a^2-2a=a(a-2)$$

determinant que s’anul·la amb $a = 0$ i $a = 2$, després:

• Si a≠0 y a≠2, el rang de A és 3.
• Si a=0 tenim $$A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&0&0&2\\0&1&2&0\end{pmatrix}$$

Vegem el seu rang calculant el determinant format per les columnes $2$, $3$ i $4$. $$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&0&2\\1&2&0\end{vmatrix}=2-4=-2\neq0$$ El Rang de $A$ és $3$.

• Si a=2, tenim la matriu. $$A(2)=\begin{pmatrix}1&1&3&1\\2&0&0&2\\0&2&2&0\end{pmatrix}$$ Calculem el determinants de la matriu formada per les columnes $2$, $3$ i $4$. $$\begin{vmatrix}1&3&1\\0&0&2\\2&2&0\end{vmatrix}=12-4=8\neq0$$. I el rang també és $3$. Per tant, el rang de $A$ és $3$ independentment del valor de $a$.