Etiqueta: àlgebra

Etiqueta: àlgebra

Matriu inversa
12 de febrer de 2023 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Calcula la matriu inversa de: $$A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Primer de tot haurem de comprovar si la matriu és invertible. Això vol dir essencialment que el determinant és diferent de zero: $$|A|=\begin{vmatrix}3 & 5 & 2\\1

Read More
Sistemes homegenis
25 de novembre de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Es considera el sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-(1-a^2)z&=0\\2x+4y+6z&=0\\2x+5y+z&=0\end{array}\right.$$ Calcula raonadament els valors del paràmetre a perquè el sistema tingui solucions diferents de la solució trivial $(0,0,0)$. Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.Discutim el sistema utilitzant el teorema

Read More
El teorema de Rouché-Fröbenius
22 de novembre de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Sigui un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites $$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+\cdots &+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+\cdots &+a_{2n}x_n&=b_2\\&\vdots&\ddots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+\cdots &+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.$$ que en forma matricial s’escriu de la forma $$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{M}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}}_X=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}}_N$$$$M\cdot X=N$$ Anomenarem la matriu de coeficients a la matriu $M$. Anomenarem la matriu ampliada a la matriu

Read More
Càlcul de Rang d’una matriu
23 d'octubre de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Determineu el rang de la matriu $A$ segons els valors de $a$. $$A(a)=\begin{pmatrix}1&1&a+1&1\\a&0&0&2\\0&a&2&0\end{pmatrix}$$ Calculem el rang d’aquesta matriu utilitzant determinants. Comencem amb les columnes $1$, $2$ i $4$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&0&2\\0&a&0\end{vmatrix}=a^2-2a=a(a-2)$$ determinant que s’anul·la amb $a = 0$ i $a = 2$, després: Si a≠0 y a≠2, el rang de A és 3. Si a=0 tenim $$A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&0&0&2\\0&1&2&0\end{pmatrix}$$ Vegem el

Read More
Sistema d’equacions
23 d'octubre de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.$$ Escrivim el sistema d’equacions en forma de matriu: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.\sim\begin{pmatrix}3&2&1&1\\ 5&3&4&2\\ 1&1&-1&1\end{pmatrix}\sim$$ Ho resoldrem per Cramer, calcularem els $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$ $\Delta= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-1$ $\Delta_x= \begin{vmatrix}1&2&1\\ \:2&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=4$ $\Delta_y= \begin{vmatrix}3&1&1\\ \:5&2&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-6$ $\Delta_z= \begin{vmatrix}3&2&1\\

Read More
Examen de matemàtiques II 26 de juny de 2020
26 de juny de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y-\beta z & = & -3 \\2x+(\beta-5)y+z & = & 4\beta+2 \\4x+(\beta-1)y-3z & = & 4\end{array}\right\}$$ Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$ Hi ha algun valor de $\beta$ per al qual $x=1$, $y=–3$, $z=–1$ sigui l’única solució del sistema? Resol el sistema per

Read More
Problema 1 examen matemàtiques II 12 juny 2020
11 de juny de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Considera el sistema següent: $$\begin{cases} (k-1)y+(k^2-1)z=0 \\ (4k+1)x-y-7z=1 \\ x+y+z=0 \end{cases}$$ on $k \in \RR$ Discutiu el sistema d’equacions lineals en funció dels valors de $k$. Escrivim la matriu $A$ i la matriu ampliada, $MA$. Anem a estudiar el rang d’ambdues i aplicarem el teorema de Rouché-Frobënius per a saber

Read More
Problema 6 examen matemàtiques II 5 juny 2020
9 de juny de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Considera las matrices: $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)\qquad y \qquad B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$ ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa? No

Read More
Problema 6 examen matemàtiques CCSS 04.06.2020
5 de juny de 2020 Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: $$\left.\begin{array}{ccc}2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array}\right\}$$ Resuelve el sistema anterior para el

Read More