Problema 1 examen matemàtiques II 12 juny 2020

Considera el sistema següent: $$\begin{cases} (k-1)y+(k^2-1)z=0 \\ (4k+1)x-y-7z=1 \\ x+y+z=0 \end{cases}$$ on $k \in \RR$

Discutiu el sistema d’equacions lineals en funció dels valors de k.

Escrivim la matriu $A$ i la matriu ampliada, $MA$. Anem a estudiar el rang d’ambdues i aplicarem el teorema de Rouché-Frobënius per a saber de quin tipus és segons les seves solucions.

$$A=\begin{pmatrix}
0 & k-1 & k^2-1\\
4k+1 & -1 & -7\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
MA=\begin{pmatrix}
0 & k-1 & k^2-1 & 0\\
4k+1 & -1 & -7 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
El rang de la matriu A com a mínim és 1. Veiem ara si té algun menor d’ordre 2 diferent de zero:

$$\begin{vmatrix}
-1 & -7\\
1 & 1
\end{vmatrix}
=6$$
El rang com a mínim és $2$. Anem a calcular el menor d’ordre $3$. Ho fem desenvolupant per la 1a fila:

$$\Delta = \begin{vmatrix}
0 & k-1 & k^2-1\\
4k+1 & -1 & -7\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
=-(k-1)
\begin{vmatrix}
4k+1 & -7 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
+(k^2-1)
\begin{vmatrix}
4k+1 & -1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}=$$
$$\Delta=(1-k)(4k+1+7)+(k^2-1)(4k+1+1)=…=(k-1)(4k^2+2k-6)$$
En aquest punt hem de distingir entre $2$ casos. Hi ha el cas en que el determinant de la matriu és zero (i això voldrà dir que el rang de la matriu $A$ és $2$) i el cas que aquest determinant és diferent de zero:

Si $|A|=0$ tenim:

$$(k-1)(4k^2+2k-6)=0 \rightarrow k_1=1 \qquad k_2=-\frac{ 3 }{ 2 }$$
Anem a desglossar els 3 casos:

Si $k=1$:

Caldrà estudiar el rang de la matriu ampliada. Fem $k=1$ i orlem el menor d’ordre $2$ amb la columna de termes independents:

$$\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0\\
-1 & -7 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
=0$$
En aquest cas, el rang de la matriu ampliada també és $2$. Per tant:

Rang $A$ $=$ Rang $MA=2 \rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminat

Si $k=-\frac{3}{2}$:

Anem a veure el rang de la matriu ampliada. Fem $k=-\frac{ 3 }{ 2 }$ i orlem el menor d’ordre $2$ amb la columna de termes independents:

$$\begin{vmatrix}
-\frac{ 5 }{ 2 } & \frac{ 5 }{ 4 } & 0\\
-1 & -7 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
=\frac{ 15 }{ 4 } \ne 0$$
En aquest cas, el rang de la matriu ampliada és $3$. Per tant:

Rang $A\ne$ Rang $MA \rightarrow$ Sistema Incompatible

Si $k \ne 1$ o $k\ne -\frac{ 3 }{ 2 }$:

Rang $A$ $=$ Rang $MA=3\rightarrow$ Sistema Compatible Determinat

Resoleu el sistema per $k=1$

Anem a resoldre el sistema per $k=1$. Ho farem pel mètode de Gauss:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 0 & 0 & 0\\
5 & -1 & -7 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)$$

$$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
5 & -1 & -7 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & -6 & -12 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Això dóna lloc al sistema:

$$\begin{cases} x+y+z=0 \\ -6y-12z=1 \end{cases}$$
El sistema és compatible indeterminat amb un paràmetre. Si agafem $z=\lambda$ tenim la solució:

$$z=\lambda \qquad y=\frac{ -12\lambda-1 }{ 6 } \qquad x=\frac{ 6\lambda+1 }{ 6 }$$