LEMNISCATA
Matemàtiques
Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.
Discutim el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Escrivim el sistema en forma matricial ($MX = N$):
$$\begin{pmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.
Estudiem el rang de la matriu de coeficients $M$ utilitzant determinants:
$$\begin{vmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{vmatrix}=4+12+10(-1+a^2)-8(-1+a^2)-2-30=-18+2a^2$$
Determinant que s’anul·la per:
$$2a^2-18=0\longrightarrow a^2=9\longrightarrow a=\pm3$$
Llavors, segons el teorema de Rouché-Frobenius: