Sistemes homegenis

Es considera el sistema d’equacions:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y-(1-a^2)z&=0\\2x+4y+6z&=0\\2x+5y+z&=0\end{array}\right.$$

Calcula raonadament els valors del paràmetre a perquè el sistema tingui solucions diferents de la solució trivial $(0,0,0)$.

Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.
Discutim el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Escrivim el sistema en forma matricial ($MX = N$):

$$\begin{pmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.
Estudiem el rang de la matriu de coeficients $M$ utilitzant determinants:

$$\begin{vmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{vmatrix}=4+12+10(-1+a^2)-8(-1+a^2)-2-30=-18+2a^2$$

Determinant que s’anul·la per:

$$2a^2-18=0\longrightarrow a^2=9\longrightarrow a=\pm3$$

Llavors, segons el teorema de Rouché-Frobenius:

• Si $a\not=3$ y $a\not=-3$, llavors és el rang de $M$ és $3$ i el sistema és compatible determinat amb solució trivial.
• Si $a=3$ o $a=-3$, llavors el rang de $M$ és 2 ja que $\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}=2\neq0$ i el sistema és compatible indeterminat, obtenint solucions diferents a la trivial.