Problema de geometria de l’espai

Siguin $r$ i $s$ les rectes de $R^3$ d’equacions:

$$r:x+5=y-5=\displaystyle\frac{z-3}{2}$$

$$s:\displaystyle\frac{x-3}{2}=\displaystyle\frac{y-2}{3}=\displaystyle\frac{z+1}{-1}$$

1. Estudieu el paral·lelisme i la perpendicularitat entre les rectes $r$ i $s$

Els vectors directors de les rectes $r$ i $s$ són: $v_r=(1,1,2)$ i $v_s=(2,3,-1)$.

Els vectors $v_r$ i $v_s$ no són proporcionals, ja que un no és múltiple de l’altre i per tant les rectes $r$ i $s$ no són paral·leles.

El producte escalar dels dos vectors directors és $v_r\cdot v_s=3\neq0$ per tant les rectes $r$ i $s$
no són perpendiculars.

2. Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma $Ax+By+Cz+D=0$) del pla $\pi$ que conté la recta $r$ i és paral·lel a la recta $s$. Calculeu la distància entre la recta $s$ i el pla $\pi$.

Si el pla $\pi$ ha de contenir la recta $r$ aleshores $v_r=(1,1,2)$ serà un dels seus
vectors directors i el pla $\pi$ haurà de passar pel punt de la recta $P_r=(-5,5,3)$. Per altra
banda si el pla $\pi$ ha de ser paral·lel a la recta $s$ aleshores $v_s=(2,3,-1)$ serà també un
dels vectors dire
ctors del pla.

Així doncs, l’equació general del pla $\pi$ s’obtindrà de la igualtat:

\begin{equation}
\left|\begin{array}{ccc}
x+5 & 1 & 2\\
y-5 & 1 & 3\\
z-3 & 2 & -1
\end{array}\right|=0
\end{equation}

Quan desenvolupem obtenim $(x+5)(-7)-(y-5)(-5)+(z-3)1=0$

Amb el que tenim $\boxed{\pi : -7+5y+z-63=0}$

Com que el pla $\pi$ és paral·lel a la recta $s$,

\begin{equation}
d(s,\pi)=d(P_s,\pi)=\frac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=
\end{equation}

\begin{equation}
=\frac{-7\cdot3+5\cdot2+(-1)-63}{\sqrt{(-7)^2+5^2+1^2}}=\frac{75}{\sqrt{75}}=\sqrt{75}=\boxed{5\sqrt{3}}
\end{equation}