LEMNISCATA
Matemàtiques
Matriu inversa
Matriu inversa
Calcula la matriu inversa de: $$A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Primer de tot haurem de comprovar si la matriu és invertible. Això vol dir essencialment que el determinant és diferent de zero:
$$|A|=
\begin{vmatrix}
3 & 5 & 2\\
1 & -1 & -1\\
2 & 3 & 4
\end{vmatrix}=-12+6-10+4+9-20=-23\ne 0$$
Per tant és invertible. Calculem els adjunts de tots els elements per trobar la matriu adjunta i llavors calcularem la seva transposada.
| $$A_{11}= + \begin{vmatrix} -1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =-1 \qquad A_{12}= – \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix} =-6 \qquad A_{13}= + \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =5$$ |
| $$A_{21}= – \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =-14 \qquad A_{22}= + \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 4 \end{vmatrix} =8 \qquad A_{23}= – \begin{vmatrix} 3 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =1$$ |
| $$A_{31}= + \begin{vmatrix} 5 & 2\\ -1 & -1 \end{vmatrix} =-3 \qquad A_{32}= – \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =5 \qquad A_{33}= + \begin{vmatrix} 3 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-8 \qquad$$ |
Per tant, la matriu adjunta serà: $$Adj(A)=\begin{pmatrix}
-1 & -6 & 5\\
-14 & 8 & 1\\
-3 & 5 & -8
\end{pmatrix}$$
Si la transposem obtenim: $$(Adj(A))^T=
\begin{pmatrix}
-1 & -14 & -3\\
-6 & 8 & 5\\
5 & 1 & -8
\end{pmatrix}$$
Així doncs, la inversa de $A$ serà: $$A^{-1}=\frac{(Adj(A))^T}{|A|}=
\frac{ 1 }{ -23 }
\begin{pmatrix}
-1 & -14 & -3\\
-6 & 8 & 5\\
5 & 1 & -8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1/23 & 14/23 & 3/23\\
6/23 & -8/23 & -5/23\\
-5/23 & -1/23 & 8/23
\end{pmatrix}$$
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss