Floristeria el dia de Sant Jordi

En una floristeria, el dia de Sant Jordi, venen tres tipus diferents de rams de roses. L’opció clàssica té una rosa i una espiga. L’opció de ram petit té tres roses i dues espigues. L’opció de ram gran té sis roses i tres espigues. Tots els rams porten un embolcall. S’han utilitzat $200$ roses, $135$ espigues i $85$ embolcalls. Quants rams s’han elaborat de cada tipus?

Tenim el sistema d’equacions:

$$\begin{cases}
x + y + z = 85 \\
x + 3y + 6z = 200 \\
x + 2y + 3z = 135
\end{cases}$$

Escrivim la $\textbf{matriu augmentada}$:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 85 \\
1 & 3 & 6 & | & 200 \\
1 & 2 & 3 & | & 135
\end{bmatrix}$$

Pas 1: Eliminar $x$ de les files 2 i 3

$$\begin{array}{r}
\text{Fila}_2 \leftarrow \text{Fila}_2 – \text{Fila}_1 \\
\text{Fila}_3 \leftarrow \text{Fila}_3 – \text{Fila}_1
\end{array}
\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 85 \\
0 & 2 & 5 & | & 115 \\
0 & 1 & 2 & | & 50
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Eliminar $y$ entre les files 2 i 3

$$\begin{array}{r}
\text{Fila}_2 \leftarrow \text{Fila}_2 – 2 \times \text{Fila}_3 \\
\text{Fila}_1 \leftarrow \text{Fila}_1 – \text{Fila}_3
\end{array}
\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 35 \\
0 & 0 & 1 & | & 15 \\
0 & 1 & 2 & | & 50
\end{bmatrix}$$

Intercanviem Fila 2 i Fila 3:

$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & 35 \\
0 & 1 & 2 & | & 50 \\
0 & 0 & 1 & | & 15
\end{bmatrix}$$

Pas 3: Forma escalonada reduïda (Gauss-Jordan)

$$\begin{array}{r}
\text{Fila}_2 \leftarrow \text{Fila}_2 – 2 \times \text{Fila}_3 \\
\text{Fila}_1 \leftarrow \text{Fila}_1 + \text{Fila}_3
\end{array}
\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 50 \\
0 & 1 & 0 & | & 20 \\
0 & 0 & 1 & | & 15
\end{bmatrix}$$

Solució

$$\boxed{x = 50,\quad y = 20,\quad z = 15}$$

S’han elaborat $\textbf{50 rams clàssics}$, $\textbf{20 rams petits}$ i $\textbf{15 rams grans}$.