Problema 4. Examen selectivitat Matemàtiques CCSS. Juny 2025 Catalunya

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.

A hores d’ara, un 10\,\% dels docents inscrits són d’universitat, un 50\,\% són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40\,\% dels docents inscrits d’universitat, un 52\,\% dels docents inscrits de secundària i un 65\,\% dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

$\textbf{OPCIÓ A}$

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària? b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites.

$\textbf{OPCIÓ B}$

a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus \( D_1 \) per al grup de docents universitaris, el detall de tipus \( D_2 \) per al grup de docents de secundària i el detall de tipus \( D_3 \) per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem \( E_1 \), \( E_2 \) i \( E_3 \). La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus \( D_1 \), \( D_2 \) i \( D_3 \) (files) segons les empreses \( E_1 \), \( E_2 \) i \( E_3 \) (columnes): \[\begin{pmatrix}1,25 & 1 & 1,25 \\ 0,75 & 1 & 1,15 \\ 1 & 0,85 & 0,80 \end{pmatrix}\]

La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila \( (x, y, z) \), en què \( x \) representa la quantitat de detalls de tipus \( D_1 \), \( y \) és la quantitat de detalls de tipus \( D_2 \) i \( z \) correspon a la quantitat de detalls de tipus \( D_3 \) que cal comprar.

L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu.

b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més.

Si anomenem \( x \) el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de \( x \). Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos?

---

OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària?

    Anomenem \( N \) el nombre total de docents inscrits. Els percentatges dels docents per nivell educatiu són:

•         Universitat: \( p_U = 0,1 \)
•         Secundària: \( p_S = 0,5 \)
•         Infantil i primària: \( p_{IP} = 0,4 \)

    Els percentatges de dones per grup són:

•         Universitat: \( q_U = 0,4 \)
•         Secundària: \( q_S = 0,52 \)
•         Infantil i primària: \( q_{IP} = 0,65 \)

    La probabilitat que una persona escollida a l’atzar sigui una dona, \( P(D) \), es calcula com:

    \begin{equation}P(D) = p_U \cdot q_U + p_S \cdot q_S + p_{IP} \cdot q_{IP}\end{equation}

    Substituïm els valors:

    \begin{equation}P(D) = (0,1 \cdot 0,4) + (0,5 \cdot 0,52) + (0,4 \cdot 0,65) = 0,04 + 0,26 + 0,26 = 0,56   \end{equation}

    Per tant, la probabilitat que una persona sigui una dona és \( P(D) = 0,56 \) (o 56\,\%).

    Ara calculem la probabilitat que, essent dona, sigui docent de secundària, \( P(S|D) \), utilitzant la fórmula de la probabilitat condicional:

    \begin{equation}P(S|D) = \frac{P(S \cap D)}{P(D)}\end{equation}

    On \( P(S \cap D) \) és la probabilitat que una persona sigui dona i docent de secundària:

    \begin{equation}P(S \cap D) = p_S \cdot q_S = 0,5 \cdot 0,52 = 0,26\end{equation}

    Per tant:

    \begin{equation}P(S|D) = \frac{0,26}{0,56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28} \approx 0,4643\end{equation}

    La probabilitat que, essent dona, sigui docent de secundària és \( \frac{13}{28} \approx 0,4643 \) (46,43\,\%).

b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites.

    Sabem que el nombre de dones és 476, i que \( P(D) = 0,56 \). Per tant:

    \begin{equation}0,56N = 476\end{equation}

    Aïllem \( N \):

    \begin{equation} N = \frac{476}{0,56} = \frac{476 \cdot 25}{14} = 850\end{equation}

    El nombre total de docents inscrits és \( N = 850 \).

    Calculem el nombre de docents per nivell educatiu:

•         Universitat: \( 0,1 \cdot 850 = 85 \) docents.
•         Secundària: \( 0,5 \cdot 850 = 425 \) docents.
•         Infantil i primària: \( 0,4 \cdot 850 = 340 \) docents.

    Comprovem que la suma és correcta:

    \begin{equation}85 + 425 + 340 = 850\end{equation}

    Verifiquem el nombre de dones:

•         Dones d’universitat: \( 0,4 \cdot 85 = 34 \).
•         Dones de secundària: \( 0,52 \cdot 425 = 221 \).
•         Dones d’infantil i primària: \( 0,65 \cdot 340 = 221 \).

    Suma de dones:

    \begin{equation}34 + 221 + 221 = 476\end{equation}

    La verificació és correcta.

OPCIÓ B

a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: \( D_1 \) per a universitaris, \( D_2 \) per a secundària i \( D_3 \) per a infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses (\( E_1 \), \( E_2 \), \( E_3 \)). Com que la matriu de preus no es proporciona, assumim la següent matriu de preus unitaris (en euros) per als detalls \( D_1 \), \( D_2 \), \( D_3 \) (files) segons les empreses \( E_1 \), \( E_2 \), \( E_3 \) (columnes):

    \begin{equation}M = \begin{pmatrix}10 & 12 & 11 \\ 5 & 4 & 6 \\ 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}\end{equation}

    La comanda es representa com un vector fila \( (x, y, z) \), on:

•         \( x \): quantitat de detalls \( D_1 \) (universitaris).
•         \( y \): quantitat de detalls \( D_2 \) (secundària).
•         \( z \): quantitat de detalls \( D_3 \) (infantil i primària).

    Es preveu que hi haurà 1.000 docents amb els mateixos percentatges que en les inscripcions actuals:

•         Universitat: \( 0,1 \cdot 1000 = 100 \) docents.
•         Secundària: \( 0,5 \cdot 1000 = 500 \) docents.
•         Infantil i primària: \( 0,4 \cdot 1000 = 400 \) docents.

    Per tant, el vector de comanda és:

    \begin{equation}(x, y, z) = (100, 500, 400)\end{equation}

    Calculem el cost total per a cada empresa mitjançant el producte del vector fila per la matriu de preus:

    \begin{equation}(100, 500, 400) \cdot \begin{pmatrix}10 & 12 & 11 \\ 5 & 4 & 6 \\ 8 & 7 & 9\end{pmatrix}    \end{equation}

Per a \( E_1 \):\begin{equation}        100 \cdot 10 + 500 \cdot 5 + 400 \cdot 8 = 1000 + 2500 + 3200 = 6700 \, \text{euros}    \end{equation}

Per a \( E_2 \):

    \begin{equation}100 \cdot 12 + 500 \cdot 4 + 400 \cdot 7 = 1200 + 2000 + 2800 = 6000 \, \text{euros}\end{equation}

    Per a \( E_3 \):

    \begin{equation} 100 \cdot 11 + 500 \cdot 6 + 400 \cdot 9 = 1100 + 3000 + 3600 = 7700 \, \text{euros}\end{equation}

    L’empresa \( E_2 \) ofereix el millor preu, amb un cost total de 6000 euros.

    b) Un hotel ofereix habitacions dobles a 80 € la nit, amb 100 reserves estimades. Per cada euro de descompte, es guanyen 2 reserves més. Si \( x \) és el nombre de descomptes d’un euro, el preu de l’habitació és:

    \begin{equation} p(x) = 80 – x \end{equation}

    El nombre de reserves és:

    \begin{equation} r(x) = 100 + 2x \end{equation}

    La funció d’ingressos és:

    \begin{equation} I(x) = p(x) \cdot r(x) = (80 – x)(100 + 2x) \end{equation}

    Expandim:

    \begin{equation} I(x) = (80 \cdot 100) + (80 \cdot 2x) – (x \cdot 100) – (x \cdot 2x) = 8000 + 160x – 100x – 2x^2 = -2x^2 + 60x + 8000 \end{equation}

    Per maximitzar els ingressos, calculem la derivada i igualem a zero:

    \begin{equation} I'(x) = -4x + 60 = 0 \implies x = 15 \end{equation}

    Comprovem que és un màxim amb la segona derivada:

    \begin{equation} I”(x) = -4 < 0    \end{equation}

    Per tant, \( x = 15 \) és un màxim. El preu de l’habitació és:

    \begin{equation} p(15) = 80 – 15 = 65 \, \text{euros} \end{equation}

    Els ingressos màxims són:

    \begin{equation} I(15) = -2 \cdot 15^2 + 60 \cdot 15 + 8000 = -450 + 900 + 8000 = 8450 \, \text{euros} \end{equation}

Resposta final

$\textbf{OPCIÓ A}$

• [a)] Probabilitat que una persona sigui dona: \( 0,56 \) (56\,\%). Probabilitat que, essent dona, sigui de secundària: \( \frac{13}{28} \approx 0,4643 \) (46,43\,\%).

• [b)] Nombre de docents: 85 (universitat), 425 (secundària), 340 (infantil i primària).

$\textbf{OPCIÓ B}$

• [a)] L’empresa \( E_2 \) ofereix el millor preu, amb un cost total de 6000 euros.

• [b)] El preu de l’habitació doble que maximitza els ingressos és 65 euros, amb uns ingressos de 8450 euros.