LEMNISCATA
Matemàtiques
L’anàlisi dimensional és una eina molt útil en física i enginyeria per verificar l’homogeneïtat de les equacions físiques, convertir unitats i fins i tot fer estimacions o deduir relacions entre magnituds físiques. Aquí tens alguns exemples pràctics de la seva aplicació:
L’anàlisi dimensional s’utilitza per verificar si una equació és dimensionalment correcta. Per exemple, prenem la famosa equació de la caiguda lliure:
$$d = \frac{1}{2} g t^2$$
Les dimensions de la dreta són:
$$[L T^{-2}] \cdot [T^2] = [L]$$
Això coincideix amb les dimensions de la distància, $d$, així que l’equació és dimensionalment correcta.
L’anàlisi dimensional és molt útil per convertir unitats d’un sistema a un altre. Per exemple, per convertir quilòmetres per hora (km/h) a metres per segon (m/s), podem fer servir l’anàlisi dimensional:
1 quilòmetre = 1000 metres i 1 hora = 3600 segons.
Així, per convertir $100 \, \text{km/h}$:
$$100 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 27,78 \, \text{m/s}$$
Aquesta conversió és senzilla gràcies a l’anàlisi dimensional.
L’anàlisi dimensional pot ajudar a deduir fórmules. Un exemple clàssic és la deducció del període d’un pèndol simple. Suposem que el període $T$ depèn de la longitud $L$ del pèndol i de l’acceleració de la gravetat $g$. Es pot suposar que la relació té la forma:
$$T \propto L^a g^b$$
Sabem que $T$ té dimensions de temps $[T]$, $L$ és una longitud $[L]$, i $g$ és una acceleració $[L T^{-2}]$.
Ajustant les dimensions:
$$[T] = [L]^a [L T^{-2}]^b = [L]^{a+b} [T]^{-2b}$$
Perquè les dimensions siguin coherents, han de complir-se les equacions següents:
Resolent aquestes equacions, obtenim $b = -1/2$ i $a = 1/2$, de manera que:
$$T \propto \sqrt{\frac{L}{g}}$$
Aquesta és la fórmula del període d’un pèndol simple.
L’anàlisi dimensional també s’utilitza per fer estimacions ràpides d’ordres de magnitud en fenòmens físics. Per exemple, per estimar la velocitat de caiguda d’un cos en un fluid, podem suposar que depèn de la densitat del fluid $\rho$, la gravetat $g$, i el radi de la partícula $r$. Deduïm dimensionalment una relació del tipus:
$$v \propto \sqrt{g r}$$
Això dona una bona estimació de l’ordre de magnitud de la velocitat de sedimentació.
En experiments físics, l’homogeneïtat dimensional ajuda a assegurar que tots els termes en una equació tenen les mateixes dimensions, evitant errors. Per exemple, en una equació que relaciona la pressió $P$, el volum $V$, la temperatura $T$ i la quantitat de gas $n$ en un gas ideal:
$$PV = nRT$$
Verificant les dimensions de cada terme: