Discussió sistema d’equacions. Andalusia – Matemàtiques II – Model 2022-Bloc B

Considera el següent sistema d’equacions lineals $$\begin{cases}mx + 2y – z = 1 \\5x – 4y + 2z = 0 \\x + 3my = m + \frac{2}{5}\end{cases}$$ a) Discuteix el sistema segons els valors de $m$. b) Resol el sistema per $m = 0$. Hi ha alguna solució en què $x = 0$? En cas afirmatiu, calcula-la. En cas negatiu, justifica la resposta.

Escrivim el sistema en forma matricial:
$$A/A^* =
\begin{pmatrix}
m & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & 3m & 0 & m + \frac{2}{5}
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant de la matriu de coeficients $A$:
$$|A| = -6m^2 – 15m = -3m (2m – 5) = 0 \Rightarrow m = {0, -\frac{5}{2} }$$

Si $m \neq {0, -\frac{5}{2} }$, llavors $|A| \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 3 = \operatorname{rang}(A^*) = \text{número d’incògnites}$
$$\text{Teorema de Rouché} \Rightarrow \text{Sistema Compatible Determinat (Solució única)}$$

Si $m = 0$, tenim:
$$A/A^* =
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 & \frac{2}{5}
\end{pmatrix}$$

Com $|A| = 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) < 3$ i
$$\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
5 & -4
\end{vmatrix}
\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 2$$

A més,
$$\begin{vmatrix}
0 & 2 & 1 \\
5 & -4 & 0 \\
1 & 0 & \frac{2}{5}
\end{vmatrix}
= 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A^*) = 2$$

Com $\operatorname{rang}(A) = 2 = \operatorname{rang}(A^*) \neq \text{número d’incògnites} = 3$, pel Teorema de Rouché:
$$\text{Sistema Compatible Indeterminat (Infinites solucions)}$$

Si $m = -\frac{5}{2}$, tenim:
$$A/A^* =
\begin{pmatrix}
-\frac{5}{2} & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0 \\
1 & -\frac{15}{2} & 0 & -\frac{3}{5}
\end{pmatrix}$$

Com $|A| = 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) < 3$ i
$$\begin{vmatrix}
5 & 2 \\
1 & 0
\end{vmatrix}
\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 2$$

A més,
$$\begin{vmatrix}
-\frac{5}{2} & -1 & 1 \\
5 & 2 & 0 \\
1 & 0 & -\frac{3}{5}
\end{vmatrix}
= -2 \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A^*) = 3$$

Com $\operatorname{rang}(A) = 2 \neq \operatorname{rang}(A^*) = 3$, pel Teorema de Rouché:
$$\text{Sistema Incompatible (No té solució)}$$

Resolem el sistema per $m = 0$ mitjançant el mètode de Gauss. Com que estem davant d’un sistema compatible indeterminat (S.C.I.), només cal resoldre el sistema format per les equacions corresponents al menor d’ordre 2 diferent de zero obtingut en la discussió:

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & 1 \\
5 & -4 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

Això ens porta a les següents equacions:

\begin{equation}
2\lambda – z = 1
\end{equation}

\begin{equation}
5x – 4\lambda + 2(-1 + 2\lambda) = 0
\end{equation}

A més, obtenim:

\begin{equation}
y = \lambda
\end{equation}

Resolent el sistema:

$$\boxed{\begin{cases}x = \frac{2}{5} \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda\end{cases}}$$

amb $\lambda \in \mathbb{R}$.

En el cas $m = 0$, com que $x = \frac{2}{5}$, no hi ha cap solució del sistema en què $x = 0$.

Si $m \neq {0, \frac{2}{5} }$, en el cas que $x = 0$, el sistema seria:

\begin{equation}
\begin{cases}
2y – z = 1 \Longrightarrow z = 2y-1 \\
-4y + 2z = 0 \Longrightarrow z = 2y\\
3my = m + \frac{2}{5}
\end{cases}
\end{equation}

Substituint $z = 2y$ en la primera equació:

\begin{equation}
2y – 2y = 1 \Rightarrow 0 = 1, \quad \text{que és un absurd.}
\end{equation}

Per tant, tampoc hi ha cap solució del sistema en què $x = 0$.