Discussió sistemes d’equacions. Andalusia – Matemàtiques II – Juny 2022 – Bloc B

Considera el següent sistema d’equacions lineals: $$\begin{cases}x – y + mz = -3 \\ -mx + 3y – z = 1 \\ x – 4y + mz = -6 \end{cases}$$ a) Discuteix el sistema segons els valors de $m$. b) Per $m = 2$, resol el sistema si és possible.

a) Escrivim el sistema en forma matricial:

\begin{equation}
A/A^* =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & m & -3 \\
-m & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & m & -6
\end{pmatrix}
\end{equation}

Calculem el determinant de la matriu de coeficients $A$:

\begin{equation}
|A| = 3m^2 – 3 = 0 \Rightarrow m = {-1, 1}
\end{equation}

Si $m \neq {-1, 1}$, llavors $|A| \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 3 = \operatorname{rang}(A^*) = \text{número d’incògnites}$
\begin{equation}
\text{Teorema de Rouché} \Rightarrow \text{Sistema Compatible Determinat (Solució única)}
\end{equation}

Si $m = -1$, tenim:

\begin{equation}
A/A^* =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & -3 \\
1 & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & -1 & -6
\end{pmatrix}
\end{equation}

Com que $|A| = 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) < 3$ i

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 2
\end{equation}

A més,

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1 & -1 & -3 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & -4 & -6
\end{vmatrix}
= 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A^*) = 2
\end{equation}

Com que $\operatorname{rang}(A) = 2 = \operatorname{rang}(A^*) \neq \text{número d’incògnites} = 3$, pel Teorema de Rouché:

\begin{equation}
\text{Sistema Compatible Indeterminat (Infinites solucions)}
\end{equation}

Si $m = 1$, tenim:

\begin{equation}A/A^* =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & 1 & -6
\end{pmatrix}
\end{equation}

Com que $|A| = 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) < 3$ i

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 3
\end{vmatrix}
\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 2
\end{equation}

A més,

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1 & -1 & -3 \\
-1 & 3 & 1 \\
1 & -4 & -6
\end{vmatrix}
= -8 \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A^*) = 3
\end{equation}

Com que $\operatorname{rang}(A) = 2 \neq \operatorname{rang}(A^*) = 3$, pel Teorema de Rouché:

\begin{equation}
\text{Sistema Incompatible (No té solució)}
\end{equation}

b) Resolució del sistema per $m = 2$

Com que es tracta d’un sistema compatible determinat (S.C.D.), escrivim la matriu ampliada:

\begin{equation}
A/A^* =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & -3 \\
-2 & 3 & -1 & 1 \\
1 & -4 & 2 & -6
\end{pmatrix}
\end{equation}

Fem operacions fila:

$$F_2 + 2F_1, \quad F_3 – F_1$$

\begin{equation}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & -3 \\
0 & 1 & 3 & -5 \\
0 & -3 & 0 & -3
\end{pmatrix}
\end{equation}

Resolem el sistema:

$$\begin{cases}x – 1 + 2(-2) = -3 \\ 1 + 3z = -5 \\ -3y = -3\end{cases}$$

D’on obtenim:

\begin{equation}
\boxed{x = 2,\ y = 1,\ z = -2}
\end{equation}