Distribució normal. Madrid – Matemàtiques II – Model 2019 – Opció A

L’examen d’oposició a l’Administració Local d’una certa ciutat consta de $300$ preguntes, amb resposta vertader o fals. Un opositor respon a l’atzar totes les preguntes. Es defineix la variable aleatòria $X$ com el nombre de respostes correctes, i es demana: a) Justificar que la variable $X$ es pot aproximar mitjançant una distribució normal i obtenir els paràmetres corresponents. b) Utilitzant l’aproximació normal, calcular la probabilitat que l’opositor encerti com a màxim $130$ preguntes i la probabilitat que encerti exactament $160$ preguntes.

a) Aproximació de la variable aleatòria $X$ a una normal

La variable $X$ segueix una distribució binomial:

\begin{equation}
X \sim B(n, p)
\end{equation}

on:

• $n = 300$ (nombre total de preguntes),
• $p = \frac{1}{2}$ (probabilitat d’encertar cada pregunta, atès que respon a l’atzar).

Els paràmetres de la distribució binomial són:

\begin{equation}
\mathbb{E}[X] = n p = 300 \cdot \frac{1}{2} = 150
\end{equation}

\begin{equation}
\operatorname{Var}(X) = n p (1 – p) = 300 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 75
\end{equation}

La distribució binomial es pot aproximar mitjançant una distribució normal quan $n$ és gran i $p$ no és proper a 0 ni a 1. En aquest cas, $n = 300$ és suficientment gran i $p = \frac{1}{2}$ compleix aquesta condició. Així doncs, podem aproximar:

\begin{equation}
X \approx N(150, 75)
\end{equation}

b) Càlcul de probabilitats amb l’aproximació normal

Per tal d’utilitzar l’aproximació normal, fem la correcció per continuïtat.

Probabilitat que $X \leq 130$

Fem la normalització:

\begin{equation}
P(X \leq 130) \approx P \left( Z \leq \frac{130 + 0.5 – 150}{\sqrt{75}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
= P \left( Z \leq \frac{-19.5}{\sqrt{75}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
= P \left( Z \leq \frac{-19.5}{8.66} \right) = P(Z \leq -2.25)
\end{equation}

Usant taules de la distribució normal, obtenim:

\begin{equation}
P(Z \leq -2.25) \approx 0.0122
\end{equation}

Probabilitat que $X = 160$

Amb l’aproximació normal, calculem:

\begin{equation}
P(X = 160) \approx P(159.5 \leq X \leq 160.5)
\end{equation}

Normalitzem:

\begin{equation}
P \left( \frac{159.5 – 150}{\sqrt{75}} \leq Z \leq \frac{160.5 – 150}{\sqrt{75}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
P \left( \frac{9.5}{\sqrt{75}} \leq Z \leq \frac{10.5}{\sqrt{75}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
P(1.10 \leq Z \leq 1.21)
\end{equation}

Amb les taules normals:

\begin{equation}
P(Z \leq 1.21) \approx 0.8869, \quad P(Z \leq 1.10) \approx 0.8643
\end{equation}

\begin{equation}
P(1.10 \leq Z \leq 1.21) = 0.8869 – 0.8643 = 0.0226
\end{equation}

Així doncs, la probabilitat que el candidat encerti exactament 160 preguntes és aproximadament 0.0226.