Distància interplanar en una estructura cristal·lina

El Fe presenta estructura bcc o fcc, depenent de la temperatura. La tècnica de Difracció de Raigs X (DRX) permetdeterminar els espaiats o distàncies entre plànols cristal·lins, a partir dels quals es dedueixen els paràmetres de xarxa. Si per a l’estructura bcc del Fe el paràmetre de xarxa és a=2.864 Å, per a la fcc és a=3.5921 Å, a) Quina distància cal esperar entre els plans (020) per a totes dues estructures? b) Calcular la distància entre els plans més compactes d’una estructura i de l’altra, que són els donen els pics de major intensitat per DRX.

La distància interplanar en una estructura cristal·lina es calcula mitjançant la següent expressió:

\begin{equation}
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}
\end{equation}

on:

• $d_{hkl}$ és la distància interplanar,
• $a$ és el paràmetre de xarxa,
• $(hkl)$ són els índexs de Miller.

Apartat a: Distància interplanar per als plans (020)

Estructura bcc (cúbica centrada en el cos)
Donat que el paràmetre de xarxa per a l’estructura bcc és $a = 2.864$ Å:

\begin{equation}
d_{020} = \frac{a}{\sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{2.864}{\sqrt{4}} = \frac{2.864}{2} = 1.432 \text{ Å}
\end{equation}

Estructura fcc (cúbica centrada en les cares)
Amb un paràmetre de xarxa $a = 3.5921$ Å:

\begin{equation}
d_{020} = \frac{a}{\sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{3.5921}{\sqrt{4}} = \frac{3.5921}{2} = 1.796 \text{ Å}
\end{equation}

Apartat b: Distància interplanar dels plans més compactes

Els plans més compactes corresponen a:

• bcc: els plans $(110)$
• fcc: els plans $(111)$

Estructura bcc (110)

\begin{equation}
d_{110} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2.864}{\sqrt{2}} = \frac{2.864}{1.414} \approx 2.025 \text{ Å}
\end{equation}

Estructura fcc (111)

\begin{equation}
d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3.5921}{\sqrt{3}} = \frac{3.5921}{1.732} \approx 2.074 \text{ Å}
\end{equation}

Resultats finals

Aquests valors poden ser verificats experimentalment mitjançant difracció de raigs X (DRX).