Matriu inversa

Calcular la inversa de la matriu: $$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & -3 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. Càlcul del determinant de $A$

El determinant d’una matriu $3 \times 3$ es calcula com:

\begin{equation}\det(A) =a_{11}\cdot\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\cdot\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\cdot\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}\det(A) = 3 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}-(-2) \begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+3 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}\end{equation}

Calculant els determinants menors:

\begin{equation}
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 – (-1 \cdot 0)) = 1
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-4 \cdot 1 – (-1 \cdot 2)) = -4 + 2 = -2
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{vmatrix} -4 & 1 \ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-4 \cdot 0 – 1 \cdot 2) = -2
\end{equation}

Substituint:

\begin{equation}
\det(A) = 3(1) + 2(-2) – 3(-2) = 3 – 4 + 6 = 5
\end{equation}

Com que $\det(A) \neq 0$, la matriu és invertible.

2. Càlcul de la matriu de cofactors

La matriu de cofactors $C$ és:

\begin{equation}
C =
\begin{pmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} &
\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \\
-\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &
\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} &
\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix}
\end{pmatrix}
\end{equation}

Avaluant els determinants:

\begin{equation}
C =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 9 & -4 \\
5 & 15 & -5
\end{pmatrix}
\end{equation}

3. Càlcul de la matriu adjunta

La matriu adjunta $\text{Adj}(A)$ és la transposada de la matriu de cofactors:

\begin{equation}
\text{Adj}(A) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & 4 & -5
\end{pmatrix}
\end{equation}

4. Càlcul de la inversa de $A$

Utilitzem la fórmula:

\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A)
\end{equation}

Substituint ( \det(A) = 5 ):

\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{5}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 9 & 15 \\
-2 & -4 & -5
\end{pmatrix}
\end{equation}

Així, la matriu inversa de $A$ és:

\begin{equation}
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \\
\frac{2}{5} & \frac{9}{5} & 3 \\
-\frac{2}{5} & -\frac{4}{5} & -1
\end{pmatrix}
\end{equation}