Discussió i resolució d’un sistema d’equacions lineals amb paràmetre

Considerem el sistema d’equacions lineals següent: \[\left\{\begin{array}{l}x + y + z = 3 \\x + y – z = 1 \\2x + ay = 2a\end{array}\right.\]

a) Discussió del sistema segons el valor del paràmetre \( a \). Sumem la primera i la segona equació:\[(x + y + z) + (x + y – z) = 3 + 1\]\[2x + 2y = 4\]\[x + y = 2 \quad \text{(1)}\] Substituïm \( x = 2 – y \) a la tercera equació:\[2(2 – y) + ay = 2a\]\[4 – 2y + ay = 2a\]\[(a-2)y = 2a – 4\]Ara estudiem segons el valor de \( a \):

• Si \( a = 2 \): l’equació esdevé \( 0 = 0 \), la qual cosa indica que el sistema és compatible indeterminat (té infinites solucions).

• Si \( a \neq 2 \): podem resoldre:\[y = \frac{2a-4}{a-2}\] Substituïm el valor de \( y \) a l’equació (1) per trobar \( x \), i finalment \( z \) a partir de:\[z = 3 – (x + y)\]

En aquest cas, el sistema és compatible determinat (té una única solució).

b) Resolució del sistema pel cas \( a = 2 \). Quan \( a = 2 \), sabem que:\[x + y = 2\quad \text{i} \quad z = 1\]On hem trobat \( z \) restant la segona equació de la primera:\[(x + y + z) – (x + y – z) = (3) – (1)\]\[2z = 2 \quad \Rightarrow \quad z = 1\]La solució general del sistema, per tant, és:\[\left\{\begin{array}{l}x = \lambda \quad (\lambda \in \mathbb{R}) \\y = 2 – \lambda \\z = 1\end{array}\right.\]On \( \lambda \) és un paràmetre real lliure.