Problema de creixement poblacional

La fórmula $P(t) = P_0 e^{kt}$ expressa el valor de la població $P(t)$ al cap de $t$ anys, per a una ciutat, amb una taxa anual de creixement $k$, constant.

a) Què significa $P_0$?

b) L’any 1985, dues ciutats A i B tenen $18,8$ i $17,3$ milions d’habitants respectivament. Per l’any 2000, si es mantenen les taxes anuals de creixement d’ambdues ciutats, s’estima que tindran $20,2$ i $25,8$ milions d’habitants respectivament. Trobar les taxes de creixement de les ciutats A i B, i calcular l’any en què les dues ciutats tindran la mateixa població.

a) Què significa $P_0$?

$P_0$ és la població inicial, és a dir, la població de la ciutat en el moment inicial ($t = 0$). En aquest cas, és la població l’any 1985 per a les ciutats A i B.

b) Trobar les taxes de creixement de les ciutats A i B, i calcular l’any en què tindran la mateixa població.

1. Dades inicials:

• Any 1985 ($t = 0$):
  • Ciutat A: $P_0 = 18,8$ milions.
  • Ciutat B: $P_0 = 17,3$ milions.
• Any 2000 ($t = 2000 – 1985 = 15$):
  • Ciutat A: $P(15) = 20,2$ milions. Ciutat B: $P(15) = 25,8$ milions.
  La fórmula donada és $P(t) = P_0 e^{kt}$.

1. Trobar la taxa de creixement $k$ per a la ciutat A:
   $$20,2 = 18,8 e^{15k}$$
   $$e^{15k} = \frac{20,2}{18,8} \approx 1,074468$$
   $$15k = \ln(1,074468) \approx 0,071882 \implies k \approx \frac{0,071882}{15} \approx 0,004792$$
   Per tant, la taxa de creixement de la ciutat A és $k_A \approx 0,004792$ (o un $0,4792\%$ anual).
2. Trobar la taxa de creixement $k$ per a la ciutat B:
   $$25,8 = 17,3 e^{15k}$$
   $$e^{15k} = \frac{25,8}{17,3} \approx 1,491329$$
   $$15k = \ln(1,491329) \approx 0,399269 \implies k \approx \frac{0,399269}{15} \approx 0,026618$$
   Per tant, la taxa de creixement de la ciutat B és $k_B \approx 0,026618$ (o un $2,6618\%$ anual).
3. Calcular l’any en què tindran la mateixa població:

• Ciutat A: $P_A(t) = 18,8 e^{0,004792t}$
• Ciutat B: $P_B(t) = 17,3 e^{0,026618t}$ Igualem $P_A(t) = P_B(t)$:
  $$18,8 e^{0,004792t} = 17,3 e^{0,026618t}$$
  $$\frac{18,8}{17,3} \approx 1,086705 = e^{(0,026618 – 0,004792)t}$$
  $$0,021826t = \ln(1,086705) \approx 0,083148 \implies t \approx \frac{0,083148}{0,021826} \approx 3,81$$
  L’any és $1985 + 3,81 \approx 1988,81$, o sigui, finals del 1988.

Resposta final:

a) $P_0$ és la població inicial l’any 1985: $18,8$ milions per a la ciutat A i $17,3$ milions per a la ciutat B.

b) Les taxes de creixement són:

• Ciutat A: $k_A \approx 0,004792$ ($0,4792\%$ anual).
• Ciutat B: $k_B \approx 0,026618$ ($2,6618\%$ anual). Les dues ciutats tindran la mateixa població a finals de l’any 1988.