Problema de producció de microprocessadors

Una empresa de components electrònics acull al mercat un nou microprocessador. La proporció $P$ de fabricants d’ordinadors que l’utilitzen al cap de $t$ anys és $P = \frac{1}{1 + C e^{-kt}}$. En l’instant $t = 0$, només l’utilitzen el $2\%$ dels fabricants. Suposant que, avui, a quatre anys de la seva aparició, l’usen ja el $50\%$ dels fabricants, calculeu les constants $C$ i $k$. Després, determineu quant de temps deuria transcórrer perquè l’usen el $90\%$ dels fabricants.

La fórmula donada és $P = \frac{1}{1 + C e^{-kt}}$, on $P$ és la proporció de fabricants que utilitzen el microprocessador al cap de $t$ anys, i $C$ i $k$ són constants a determinar.

1. Calcular les constants $C$ i $k$:

• Condició inicial ($t = 0$, $P = 0,02$): $$0,02 = \frac{1}{1 + C e^{0}} \implies 0,02 = \frac{1}{1 + C}$$ Multipliquem ambdós costats per $1 + C$: $$0,02 (1 + C) = 1 \implies 0,02 + 0,02C = 1 \implies 0,02C = 0,98 \implies C = \frac{0,98}{0,02} = 49$$ Per tant, $C = 49$.
• Condició a $t = 4$, $P = 0,5$: Ara que tenim $C = 49$, substituïm a la fórmula: $$0,5 = \frac{1}{1 + 49 e^{-4k}}$$ Multipliquem ambdós costats per $1 + 49 e^{-4k}$: $$0,5 (1 + 49 e^{-4k}) = 1 \implies 1 + 49 e^{-4k} = 2 \implies 49 e^{-4k} = 1 \implies e^{-4k} = \frac{1}{49}$$ Apliquem el logaritme natural ($\ln$): $$-4k = \ln\left(\frac{1}{49}\right) = -\ln(49)$$ Sabem que $\ln(49) = \ln(7^2) = 2 \ln(7)$, i $\ln(7) \approx 1,9459$, així que $\ln(49) \approx 2 \cdot 1,9459 = 3,8918$. Llavors: $$-4k = -3,8918 \implies 4k = 3,8918 \implies k = \frac{3,8918}{4} \approx 0,97295$$ Per tant, $k \approx 0,973$.

2. Determinar quant de temps cal perquè $P = 0,9$:

Ara la fórmula és $P = \frac{1}{1 + 49 e^{-0,973t}}$. Volem trobar $t$ quan $P = 0,9$:

$$0,9 = \frac{1}{1 + 49 e^{-0,973t}}$$

Multipliquem ambdós costats per $1 + 49 e^{-0,973t}$:

$$0,9 (1 + 49 e^{-0,973t}) = 1 \implies 1 + 49 e^{-0,973t} = \frac{1}{0,9} \approx 1,1111$$

$$49 e^{-0,973t} = 1,1111 – 1 = 0,1111 \implies e^{-0,973t} = \frac{0,1111}{49} \approx 0,002267$$

Apliquem el logaritme natural:

$$-0,973t = \ln(0,002267)$$

Calculem $\ln(0,002267)$. Com que $0,002267 \approx \frac{0,1111}{49}$, i ja sabem que $\frac{1}{49} \approx e^{-3,8918}$, fem una aproximació:

$$\ln(0,002267) \approx -6,089$$

Llavors:

$$-0,973t \approx -6,089 \implies t \approx \frac{6,089}{0,973} \approx 6,26$$

Per tant, caldran aproximadament $6,26$ anys perquè el $90\%$ dels fabricants utilitzin el microprocessador.

Resposta final:

• Les constants són $C = 49$ i $k \approx 0,973$.
• Caldran aproximadament $6,26$ anys perquè el $90\%$ dels fabricants utilitzin el microprocessador.